Номер 15.13, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

15.13. В $\triangle ABC$ известно, что $AB = 4\sqrt{2}$ см, $\angle A = 45^{\circ}$, $\angle C = 30^{\circ}$. Найдите $BC$, $AC$ и площадь $\triangle ABC$.

Дано: $\triangle ABC$, $AB = 4\sqrt{2}$ см, $\angle A = 45^\circ$, $\angle C = 30^\circ$.

Сначала найдем третий угол треугольника, $\angle B$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$.

BC

Для нахождения сторон треугольника воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

Из этой пропорции найдем сторону BC. Сторона BC лежит напротив угла A, а сторона AB лежит напротив угла C.

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

Выразим BC:

$BC = \frac{AB \cdot \sin A}{\sin C}$

Подставим известные значения:

$BC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}$

Зная, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$BC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{4 \cdot (\sqrt{2})^2 / 2}{1/2} = \frac{4 \cdot 2 / 2}{1/2} = \frac{4}{1/2} = 8$ см.

Ответ: $BC = 8$ см.

AC

Теперь найдем сторону AC, используя ту же теорему синусов. Сторона AC лежит напротив угла B.

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$

Выразим AC:

$AC = \frac{AB \cdot \sin B}{\sin C}$

Подставим известные значения, включая найденный нами $\angle B = 105^\circ$:

$AC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin 105^\circ}{\sin 30^\circ}$

Для вычисления $\sin 105^\circ$ используем формулу синуса суммы углов: $\sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$.

$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Теперь подставим это значение в формулу для AC:

$AC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{1/2} = 2\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 2(\sqrt{12} + \sqrt{4}) = 2(2\sqrt{3} + 2) = 4(\sqrt{3} + 1)$ см.

Ответ: $AC = 4(\sqrt{3} + 1)$ см.

площадь $\triangle ABC$

Площадь треугольника можно найти по формуле, использующей две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.

Воспользуемся сторонами AB и AC и углом A между ними:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A$

Подставим значения:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 4(\sqrt{3} + 1) \cdot \sin 45^\circ = 2\sqrt{2} \cdot 4(\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S_{ABC} = 8(\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = 8(\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{2}{2} = 8(\sqrt{3} + 1)$ см$^2$.

Для проверки можно использовать другую пару сторон, например, AB и BC и угол B между ними:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin 105^\circ = 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 4\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 4(\sqrt{12} + 2) = 4(2\sqrt{3} + 2) = 8(\sqrt{3} + 1)$ см$^2$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: площадь $\triangle ABC = 8(\sqrt{3} + 1)$ см$^2$.