Номер 15.7, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Расположите в порядке возрастания числа:

15.7. a) $\sin 40^\circ$, $\sin 80^\circ$, $\sin 120^\circ$, $\sin 160^\circ$;

б) $\cos 40^\circ$, $\cos 80^\circ$, $\cos 120^\circ$, $\cos 160^\circ$.

а) Чтобы расположить числа $\sin 40^\circ, \sin 80^\circ, \sin 120^\circ, \sin 160^\circ$ в порядке возрастания, проанализируем значения функции $y = \sin x$.
Воспользуемся формулами приведения, чтобы привести все углы к первой четверти, где поведение функции синуса нам хорошо известно. Формула приведения для синуса: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$.
Применим ее к углам из второй четверти:
$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ$.
$\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$.
Теперь задача сводится к сравнению следующих четырех значений: $\sin 40^\circ, \sin 80^\circ, \sin 60^\circ$ и $\sin 20^\circ$.
Все углы $20^\circ, 40^\circ, 60^\circ, 80^\circ$ находятся в промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$. На этом промежутке функция $y = \sin x$ является возрастающей, то есть большему значению угла соответствует большее значение синуса.
Так как $20^\circ < 40^\circ < 60^\circ < 80^\circ$, то соответствующие значения синусов располагаются в том же порядке:
$\sin 20^\circ < \sin 40^\circ < \sin 60^\circ < \sin 80^\circ$.
Теперь вернемся к исходным числам, подставив преобразованные значения:
$\sin 160^\circ < \sin 40^\circ < \sin 120^\circ < \sin 80^\circ$.
Ответ: $\sin 160^\circ, \sin 40^\circ, \sin 120^\circ, \sin 80^\circ$.

б) Чтобы расположить числа $\cos 40^\circ, \cos 80^\circ, \cos 120^\circ, \cos 160^\circ$ в порядке возрастания, проанализируем значения функции $y = \cos x$.
Все заданные углы ($40^\circ, 80^\circ, 120^\circ, 160^\circ$) находятся в промежутке от $0^\circ$ до $180^\circ$. На всем этом промежутке функция $y = \cos x$ является убывающей. Это означает, что чем больше угол, тем меньше значение его косинуса.
Расположим сами углы в порядке возрастания:
$40^\circ < 80^\circ < 120^\circ < 160^\circ$.
Поскольку функция косинуса убывает на данном промежутке, то для значений косинусов этих углов будет выполняться обратное неравенство:
$\cos 40^\circ > \cos 80^\circ > \cos 120^\circ > \cos 160^\circ$.
Это означает, что числа расположены в порядке убывания. Чтобы расположить их в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему), нужно записать это неравенство в обратном порядке:
$\cos 160^\circ < \cos 120^\circ < \cos 80^\circ < \cos 40^\circ$.
Ответ: $\cos 160^\circ, \cos 120^\circ, \cos 80^\circ, \cos 40^\circ$.