Номер 15.14, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

15.14. Высота треугольника равна 5 см, а углы, прилегающие к основанию, равны 60° и 45°. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан треугольник, в котором высота, проведенная к основанию, равна $h = 5$ см. Обозначим эту высоту как $BH$, а основание как $AC$. По условию, углы, прилежащие к основанию, равны $\angle BAC = 60^\circ$ и $\angle BCA = 45^\circ$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – это длина основания, а $h$ – длина высоты, проведенной к этому основанию. Для нашего треугольника формула будет выглядеть так: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$.

Высота $BH$ делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$. Основание $AC$ является суммой длин отрезков $AH$ и $HC$, то есть $AC = AH + HC$. Чтобы найти площадь, нам необходимо сначала вычислить длины этих отрезков.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (где $\angle BHA = 90^\circ$). Нам известен катет $BH = 5$ см и угол $\angle BAH = 60^\circ$. Длину катета $AH$ можно найти, используя тангенс угла:
$\tan(\angle BAH) = \frac{BH}{AH}$
$\tan(60^\circ) = \frac{5}{AH}$
Так как $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем:
$AH = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CBH$ (где $\angle BHC = 90^\circ$). Нам известен катет $BH = 5$ см и угол $\angle BCH = 45^\circ$. Найдем длину катета $HC$:
$\tan(\angle BCH) = \frac{BH}{HC}$
$\tan(45^\circ) = \frac{5}{HC}$
Так как $\tan(45^\circ) = 1$, получаем:
$HC = \frac{5}{1} = 5$ см.

Теперь мы можем найти длину всего основания $AC$:
$AC = AH + HC = \frac{5\sqrt{3}}{3} + 5$ см.

Наконец, вычислим площадь треугольника $ABC$:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{5\sqrt{3}}{3} + 5\right) \cdot 5$
$S = \frac{5}{2} \left(\frac{5\sqrt{3}}{3} + 5\right) = \frac{25\sqrt{3}}{6} + \frac{25}{2}$
Приводя к общему знаменателю, получаем:
$S = \frac{25\sqrt{3}}{6} + \frac{75}{6} = \frac{75 + 25\sqrt{3}}{6}$
Вынесем общий множитель $25$ за скобки:
$S = \frac{25(3 + \sqrt{3})}{6}$ см?.

Ответ: $\frac{25(3 + \sqrt{3})}{6}$ см?.