Номер 15.10, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

15.10. В прямоугольном треугольнике известны длина гипотенузы $c$ и острый угол $\alpha$. Найдите длину катетов, площадь и радиус описанной окружности, если:

а) $c = 12, \alpha = 60^{\circ}$;

б) $c = 6, \alpha = 45^{\circ}$;

в) $c = 4, \alpha = 30^{\circ}$;

г) $c = 60, \alpha = 60^{\circ}$.

Для решения задачи воспользуемся основными тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике, а также формулами для площади и радиуса описанной окружности. Пусть $c$ — гипотенуза, $a$ и $b$ — катеты, $\alpha$ — один из острых углов. Катет, противолежащий углу $\alpha$, равен $a = c \cdot \sin(\alpha)$. Катет, прилежащий к углу $\alpha$, равен $b = c \cdot \cos(\alpha)$. Площадь прямоугольного треугольника: $S = \frac{1}{2}ab$. Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника: $R = \frac{c}{2}$.

а) Дано: $c = 12$, $\alpha = 60^\circ$.
Находим длины катетов:
$a = 12 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$.
$b = 12 \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$.
Находим площадь:
$S = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 18\sqrt{3}$.
Находим радиус описанной окружности:
$R = \frac{12}{2} = 6$.
Ответ: длины катетов равны $6$ и $6\sqrt{3}$, площадь равна $18\sqrt{3}$, радиус описанной окружности равен $6$.

б) Дано: $c = 6$, $\alpha = 45^\circ$.
Находим длины катетов:
$a = 6 \cdot \sin(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$.
$b = 6 \cdot \cos(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$.
Находим площадь:
$S = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 2 = 9$.
Находим радиус описанной окружности:
$R = \frac{6}{2} = 3$.
Ответ: длины катетов равны $3\sqrt{2}$ и $3\sqrt{2}$, площадь равна $9$, радиус описанной окружности равен $3$.

в) Дано: $c = 4$, $\alpha = 30^\circ$.
Находим длины катетов:
$a = 4 \cdot \sin(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.
$b = 4 \cdot \cos(30^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.
Находим площадь:
$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
Находим радиус описанной окружности:
$R = \frac{4}{2} = 2$.
Ответ: длины катетов равны $2$ и $2\sqrt{3}$, площадь равна $2\sqrt{3}$, радиус описанной окружности равен $2$.

г) Дано: $c = 60$, $\alpha = 60^\circ$.
Находим длины катетов:
$a = 60 \cdot \sin(60^\circ) = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}$.
$b = 60 \cdot \cos(60^\circ) = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30$.
Находим площадь:
$S = \frac{1}{2} \cdot 30\sqrt{3} \cdot 30 = 450\sqrt{3}$.
Находим радиус описанной окружности:
$R = \frac{60}{2} = 30$.
Ответ: длины катетов равны $30$ и $30\sqrt{3}$, площадь равна $450\sqrt{3}$, радиус описанной окружности равен $30$.