Номер 15.8, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

15.8. a) $ \sin 380^\circ $, $ \sin 830^\circ $, $ \sin 210^\circ $, $ \sin 1000^\circ $;

б) $ \cos 390^\circ $, $ \cos 460^\circ $, $ \cos 920^\circ $, $ \cos 650^\circ $.

а)

Чтобы определить знак значения синуса, необходимо установить, в какой координатной четверти расположен угол. Функция синуса положительна в I и II четвертях ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$) и отрицательна в III и IV четвертях ($180^\circ < \alpha < 360^\circ$). Для углов, которые больше $360^\circ$, мы используем свойство периодичности синуса $\sin(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \sin(\alpha)$, где $k$ — целое число, чтобы найти эквивалентный угол в пределах от $0^\circ$ до $360^\circ$.

• $\sin 380^\circ$: Приведем угол к основному промежутку: $380^\circ = 360^\circ + 20^\circ$. Следовательно, $\sin 380^\circ = \sin 20^\circ$. Угол $20^\circ$ находится в I четверти, где синус положителен. Таким образом, $\sin 380^\circ > 0$.

• $\sin 830^\circ$: Приведем угол: $830^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 110^\circ = 720^\circ + 110^\circ$. Следовательно, $\sin 830^\circ = \sin 110^\circ$. Угол $110^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 110^\circ < 180^\circ$), где синус положителен. Таким образом, $\sin 830^\circ > 0$.

• $\sin 210^\circ$: Угол $210^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 210^\circ < 270^\circ$), где синус отрицателен. Таким образом, $\sin 210^\circ < 0$.

• $\sin 1000^\circ$: Приведем угол: $1000^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 280^\circ = 720^\circ + 280^\circ$. Следовательно, $\sin 1000^\circ = \sin 280^\circ$. Угол $280^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 280^\circ < 360^\circ$), где синус отрицателен. Таким образом, $\sin 1000^\circ < 0$.

Ответ: $\sin 380^\circ$ (+), $\sin 830^\circ$ (+), $\sin 210^\circ$ (-), $\sin 1000^\circ$ (-).

б)

Чтобы определить знак значения косинуса, необходимо установить, в какой координатной четверти расположен угол. Функция косинуса положительна в I и IV четвертях и отрицательна во II и III четвертях. Для углов, которые больше $360^\circ$, мы используем свойство периодичности косинуса $\cos(\alpha + 360^\circ \cdot k) = \cos(\alpha)$, где $k$ — целое число, чтобы найти эквивалентный угол.

• $\cos 390^\circ$: Приведем угол: $390^\circ = 360^\circ + 30^\circ$. Следовательно, $\cos 390^\circ = \cos 30^\circ$. Угол $30^\circ$ находится в I четверти, где косинус положителен. Таким образом, $\cos 390^\circ > 0$.

• $\cos 460^\circ$: Приведем угол: $460^\circ = 360^\circ + 100^\circ$. Следовательно, $\cos 460^\circ = \cos 100^\circ$. Угол $100^\circ$ находится во II четверти ($90^\circ < 100^\circ < 180^\circ$), где косинус отрицателен. Таким образом, $\cos 460^\circ < 0$.

• $\cos 920^\circ$: Приведем угол: $920^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 200^\circ = 720^\circ + 200^\circ$. Следовательно, $\cos 920^\circ = \cos 200^\circ$. Угол $200^\circ$ находится в III четверти ($180^\circ < 200^\circ < 270^\circ$), где косинус отрицателен. Таким образом, $\cos 920^\circ < 0$.

• $\cos 650^\circ$: Приведем угол: $650^\circ = 360^\circ + 290^\circ$. Следовательно, $\cos 650^\circ = \cos 290^\circ$. Угол $290^\circ$ находится в IV четверти ($270^\circ < 290^\circ < 360^\circ$), где косинус положителен. Таким образом, $\cos 650^\circ > 0$.

Ответ: $\cos 390^\circ$ (+), $\cos 460^\circ$ (-), $\cos 920^\circ$ (-), $\cos 650^\circ$ (+).