Номер 15.20, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

15.20. Дано выражение $\sin 1^\circ \sin 2^\circ \sin 3^\circ \cdots \sin n^\circ$.

а) При каких натуральных значениях $n$ это выражение положительно?

б) При каких натуральных значениях $n$ это выражение отрицательно?

в) При каких натуральных значениях $n$ это выражение равно нулю?

а) При каких натуральных значениях n это выражение положительно?

Знак произведения $\sin 1^\circ \sin 2^\circ \cdots \sin n^\circ$ зависит от знаков его множителей. Выражение будет положительным, если оно не равно нулю и число отрицательных множителей в нем четное (включая ноль).

Множитель $\sin k^\circ$ положителен, если аргумент $k^\circ$ находится в интервале $(0^\circ; 180^\circ)$. Это соответствует натуральным значениям $k$ от 1 до 179.

Если $1 \le n \le 179$, то для всех множителей $\sin k^\circ$ в произведении (где $k=1, 2, \dots, n$) выполняется условие $0^\circ < k^\circ < 180^\circ$, а значит, все они положительны. Произведение положительных чисел всегда положительно.

Если $n \ge 180$, выражение равно нулю (см. пункт в)).Следовательно, данное выражение положительно только при натуральных значениях $n$ от 1 до 179.

Ответ: при всех натуральных $n$ таких, что $1 \le n \le 179$.

б) При каких натуральных значениях n это выражение отрицательно?

Выражение было бы отрицательным, если бы оно не было равно нулю и содержало нечетное число отрицательных множителей.

Как показано в пункте а), при $1 \le n \le 179$ все множители положительны, поэтому произведение также положительно.

Как показано в пункте в), при $n \ge 180$ произведение равно нулю.

Таким образом, не существует натуральных значений $n$, при которых данное выражение было бы отрицательным.

Ответ: таких натуральных значений $n$ не существует.

в) При каких натуральных значениях n это выражение равно нулю?

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен нулю.

Множитель $\sin k^\circ$ равен нулю, если его аргумент $k^\circ$ кратен $180^\circ$. Поскольку $k$ — натуральное число, это условие выполняется, когда $k$ является целым положительным числом, кратным 180, то есть $k = 180, 360, 540, \dots$. Формально, $k = 180m$ для любого $m \in \mathbb{N}$.

Чтобы в произведении $\sin 1^\circ \sin 2^\circ \cdots \sin n^\circ$ нашелся множитель, равный нулю, необходимо, чтобы последовательность чисел $1, 2, \dots, n$ содержала хотя бы одно число, кратное 180. Наименьшее такое натуральное число — это 180.

Следовательно, выражение равно нулю при всех натуральных значениях $n$, которые не меньше 180.

Ответ: при всех натуральных $n$ таких, что $n \ge 180$.