Номер 15.23, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

15.23. Дано выражение $\cos 1^\circ + \cos 2^\circ + \cos 3^\circ + \dots + \cos n^\circ$.

a) При каких натуральных значениях $n \leq 360$ это выражение положительно?

б) При каких натуральных значениях $n \leq 360$ это выражение отрицательно?

в) При каких натуральных значениях $n$ это выражение равно нулю?

Обозначим данное выражение через $S_n = \cos 1^\circ + \cos 2^\circ + \cos 3^\circ + \dots + \cos n^\circ$. Эта сумма представляет собой сумму косинусов углов, составляющих арифметическую прогрессию. Для вычисления такой суммы можно использовать формулу:

$\sum_{k=1}^{n} \cos(k\alpha) = \frac{\sin(n\alpha/2)\cos((n+1)\alpha/2)}{\sin(\alpha/2)}$

В нашем случае шаг прогрессии $\alpha = 1^\circ$, поэтому выражение для суммы имеет вид:

$S_n = \frac{\sin(n/2^\circ)\cos((n+1)/2^\circ)}{\sin(1/2^\circ)}$

Нам нужно определить знак этого выражения для натуральных значений $n$ в диапазоне $1 \le n \le 360$.

Знаменатель $\sin(1/2^\circ)$ является положительным числом, так как угол $1/2^\circ$ находится в первой четверти. Следовательно, знак всей суммы $S_n$ совпадает со знаком числителя: $\sin(n/2^\circ)\cos((n+1)/2^\circ)$.

Рассмотрим знаки множителей в числителе:

1. Множитель $\sin(n/2^\circ)$. Поскольку $1 \le n \le 360$, аргумент $n/2^\circ$ находится в диапазоне $[0.5^\circ, 180^\circ]$. В этом диапазоне синус неотрицателен. Он равен нулю только при $n/2^\circ = 180^\circ$, то есть при $n=360$. Для всех $n$ от 1 до 359, $\sin(n/2^\circ) > 0$.

2. Множитель $\cos((n+1)/2^\circ)$. Из пункта 1 следует, что для $n \in \{1, 2, \dots, 359\}$ знак суммы $S_n$ определяется знаком $\cos((n+1)/2^\circ)$. Аргумент $(n+1)/2^\circ$ находится в диапазоне $[1^\circ, 180^\circ]$ для $n \in [1, 359]$.

Теперь мы можем ответить на поставленные вопросы.

Выражение положительно ($S_n > 0$), когда числитель $\sin(n/2^\circ)\cos((n+1)/2^\circ)$ положителен. Поскольку $\sin(n/2^\circ) > 0$ для $n < 360$, нам нужно, чтобы $\cos((n+1)/2^\circ) > 0$.

Косинус положителен, когда его аргумент находится в первой четверти: $0^\circ < (n+1)/2^\circ < 90^\circ$.

Решая неравенство $(n+1)/2 < 90$, получаем $n+1 < 180$, то есть $n < 179$.

Таким образом, выражение положительно для всех натуральных $n$ от 1 до 178.

Ответ: при $n \in \{1, 2, 3, \dots, 178\}$.

Выражение отрицательно ($S_n < 0$), когда числитель $\sin(n/2^\circ)\cos((n+1)/2^\circ)$ отрицателен. Поскольку $\sin(n/2^\circ) > 0$ для $n < 360$, нам нужно, чтобы $\cos((n+1)/2^\circ) < 0$.

Косинус отрицателен, когда его аргумент находится во второй четверти (в рассматриваемом нами диапазоне): $90^\circ < (n+1)/2^\circ \le 180^\circ$.

Из левого неравенства $90 < (n+1)/2$ получаем $180 < n+1$, то есть $n > 179$.

Правое неравенство $(n+1)/2 \le 180$ выполняется для всех $n \le 359$.

Таким образом, выражение отрицательно для всех натуральных $n$ от 180 до 359.

Ответ: при $n \in \{180, 181, 182, \dots, 359\}$.

Выражение равно нулю ($S_n = 0$), когда числитель $\sin(n/2^\circ)\cos((n+1)/2^\circ)$ равен нулю. Это происходит, если один из множителей равен нулю.

1. $\sin(n/2^\circ) = 0$. В диапазоне $1 \le n \le 360$ это возможно только при $n/2^\circ = 180^\circ$, что дает $n = 360$.

2. $\cos((n+1)/2^\circ) = 0$. В диапазоне $1 \le n \le 360$ это возможно только при $(n+1)/2^\circ = 90^\circ$, что дает $n+1 = 180$, то есть $n = 179$.

Следовательно, выражение равно нулю при двух значениях $n$.

Ответ: при $n = 179$ и $n = 360$.