Номер 15.22, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

15.22. Дано выражение $\sin 1^\circ + \sin 2^\circ + \sin 3^\circ + \dots + \sin n^\circ$.

а) При каких натуральных значениях $n$ это выражение положительно?

б) При каких натуральных значениях $n$ это выражение отрицательно?

в) При каких натуральных значениях $n$ это выражение равно нулю?

Для решения задачи воспользуемся формулой для суммы синусов углов, составляющих арифметическую прогрессию. Сумма $S_n = \sin 1^\circ + \sin 2^\circ + \dots + \sin n^\circ$ представляет собой сумму $n$ членов, где первый член $a_1 = 1^\circ$, а разность прогрессии $d = 1^\circ$.

Общая формула для суммы синусов:$ \sum_{k=1}^{n} \sin(a + (k-1)d) = \frac{\sin(\frac{nd}{2}) \sin(a + \frac{(n-1)d}{2})}{\sin(\frac{d}{2})} $В нашем случае $a = 1^\circ$ и $d = 1^\circ$, поэтому формула упрощается до:$ S_n = \sum_{k=1}^{n} \sin(k^\circ) = \frac{\sin(\frac{n}{2}^\circ) \sin(\frac{n+1}{2}^\circ)}{\sin(0.5^\circ)} $

Знаменатель дроби $\sin(0.5^\circ)$ является положительным числом, так как угол $0.5^\circ$ находится в первой четверти. Следовательно, знак всего выражения $S_n$ совпадает со знаком числителя, то есть со знаком произведения $P(n) = \sin(\frac{n}{2}^\circ)\sin(\frac{n+1}{2}^\circ)$.

Для удобства проанализируем сначала, когда выражение равно нулю, затем — когда оно отрицательно, и в конце — когда положительно.

Выражение равно нулю, когда его числитель равен нулю:$ \sin(\frac{n}{2}^\circ)\sin(\frac{n+1}{2}^\circ) = 0 $Это равенство выполняется, если один из сомножителей равен нулю.
1. $ \sin(\frac{n}{2}^\circ) = 0 $
Это возможно, когда аргумент является целым кратным $180^\circ$:$ \frac{n}{2} = 180k $, где $k$ — целое число.$ n = 360k $Поскольку $n$ — натуральное число, то $k$ должно быть натуральным числом, т.е. $k \in \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$.
2. $ \sin(\frac{n+1}{2}^\circ) = 0 $
Аналогично:$ \frac{n+1}{2} = 180k $, где $k$ — целое число.$ n+1 = 360k \implies n = 360k - 1 $Поскольку $n$ — натуральное число, $k$ также должно быть натуральным числом ($k \in \mathbb{N}$).
Таким образом, выражение равно нулю при $n=360k$ или $n=360k-1$ для любого натурального $k$.

Ответ: при $n=360k-1$ и $n=360k$, где $k$ — любое натуральное число (например, при $n=359, 360, 719, 720, \dots$).

Выражение отрицательно, когда произведение $P(n) = \sin(\frac{n}{2}^\circ)\sin(\frac{n+1}{2}^\circ)$ отрицательно. Это происходит, когда сомножители $\sin(\frac{n}{2}^\circ)$ и $\sin(\frac{n+1}{2}^\circ)$ имеют разные знаки.

Знак синуса меняется при переходе его аргумента через значения, кратные $180^\circ$. Для того чтобы знаки были разными, между аргументами $\frac{n}{2}^\circ$ и $\frac{n+1}{2}^\circ$ должно находиться число, кратное $180^\circ$. То есть, для некоторого натурального $m$ должно выполняться неравенство:$ \frac{n}{2} < 180m < \frac{n+1}{2} $Умножим все части неравенства на 2:$ n < 360m < n+1 $Это двойное неравенство не имеет решений в целых числах $n$, так как между двумя последовательными целыми числами $n$ и $n+1$ не может находиться другое целое число $360m$.
Следовательно, сомножители $\sin(\frac{n}{2}^\circ)$ и $\sin(\frac{n+1}{2}^\circ)$ никогда не могут иметь разные знаки. Это означает, что их произведение никогда не бывает отрицательным.

Ответ: ни при каких натуральных значениях $n$.

Выражение положительно, когда произведение $P(n) = \sin(\frac{n}{2}^\circ)\sin(\frac{n+1}{2}^\circ)$ положительно.
Из анализа в пунктах (б) и (в) мы знаем, что это произведение никогда не бывает отрицательным и равно нулю только при $n=360k-1$ и $n=360k$ для $k \in \mathbb{N}$.
Во всех остальных случаях, когда $n$ — натуральное число, произведение должно быть положительным. Это происходит, когда оба сомножителя имеют одинаковый знак (оба положительны или оба отрицательны), что, как мы выяснили, выполняется для всех $n$, при которых выражение не равно нулю.
Таким образом, выражение положительно для всех натуральных $n$, за исключением тех, при которых оно равно нулю.

Ответ: при всех натуральных $n$, кроме $n=360k-1$ и $n=360k$, где $k$ — любое натуральное число.