Номер 14.39, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.39. Сколько целых чисел содержится в области значений функции:

a) $y = \sqrt{8 - 27 \sin x - 4\sin^2 x};$

б) $y = \sqrt{4 + 24 \cos x - \sin^2 x}?$

а)

Чтобы найти область значений функции $y = \sqrt{8 - 27 \sin x - 4 \sin^2 x}$, необходимо найти множество значений подкоренного выражения. Обозначим подкоренное выражение как $f(t) = -4t^2 - 27t + 8$, где $t = \sin x$. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то переменная $t$ принимает значения из отрезка $[-1; 1]$.

Функция $f(t) = -4t^2 - 27t + 8$ является квадратичной параболой с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент при $t^2$ отрицателен ($-4 < 0$). Найдем абсциссу вершины параболы: $t_v = -\frac{-27}{2 \cdot (-4)} = -\frac{27}{8} = -3.375$.

Вершина параболы $t_v = -3.375$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, а вершина находится левее отрезка $[-1; 1]$, функция $f(t)$ на этом отрезке является убывающей. Следовательно, свое наибольшее значение она достигает в точке $t = -1$, а наименьшее — в точке $t = 1$.

Найдем эти значения: $f_{max} = f(-1) = -4(-1)^2 - 27(-1) + 8 = -4 + 27 + 8 = 31$. $f_{min} = f(1) = -4(1)^2 - 27(1) + 8 = -4 - 27 + 8 = -23$.

Таким образом, подкоренное выражение принимает значения на отрезке $[-23; 31]$. Однако, поскольку выражение находится под знаком квадратного корня, оно должно быть неотрицательным. Значит, возможные значения подкоренного выражения принадлежат отрезку $[0; 31]$.

Тогда область значений функции $y$ — это отрезок $[\sqrt{0}; \sqrt{31}]$, то есть $[0; \sqrt{31}]$. Оценим $\sqrt{31}$: $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$, значит $5 < \sqrt{31} < 6$. Целые числа, принадлежащие отрезку $[0; \sqrt{31}]$, это $0, 1, 2, 3, 4, 5$. Всего 6 целых чисел.

Ответ: 6.

б)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{4 + 24 \cos x - \sin^2 x}$. Для нахождения области значений преобразуем подкоренное выражение, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $4 + 24 \cos x - (1 - \cos^2 x) = 4 + 24 \cos x - 1 + \cos^2 x = \cos^2 x + 24 \cos x + 3$.

Сделаем замену $t = \cos x$. Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $t \in [-1; 1]$. Рассмотрим квадратичную функцию $g(t) = t^2 + 24t + 3$ на отрезке $[-1; 1]$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $t^2$ положителен ($1 > 0$). Найдем абсциссу вершины параболы: $t_v = -\frac{24}{2 \cdot 1} = -12$.

Вершина параболы $t_v = -12$ не принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, а вершина находится левее отрезка $[-1; 1]$, функция $g(t)$ на этом отрезке является возрастающей. Следовательно, свое наименьшее значение она достигает в точке $t = -1$, а наибольшее — в точке $t = 1$.

Найдем эти значения: $g_{min} = g(-1) = (-1)^2 + 24(-1) + 3 = 1 - 24 + 3 = -20$. $g_{max} = g(1) = (1)^2 + 24(1) + 3 = 1 + 24 + 3 = 28$.

Подкоренное выражение принимает значения на отрезке $[-20; 28]$. Учитывая, что оно должно быть неотрицательным, его значения принадлежат отрезку $[0; 28]$.

Тогда область значений функции $y$ — это отрезок $[\sqrt{0}; \sqrt{28}]$, то есть $[0; \sqrt{28}]$. Оценим $\sqrt{28}$: $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$, значит $5 < \sqrt{28} < 6$. Целые числа, принадлежащие отрезку $[0; \sqrt{28}]$, это $0, 1, 2, 3, 4, 5$. Всего 6 целых чисел.

Ответ: 6.