Номер 14.33, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.33. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

а) $y = \sin^2 x + 2 \sin x - 5$;

б) $y = \sin^2 x - 3 \cos^2 x + 2 \cos x$;

в) $y = 4 \cos^2 x - 4 \cos x - 2$;

г) $y = \cos^2 x - 3 \sin^2 x - 4 \sin x$.

а) $y = \sin^2 x + 2 \sin x - 5$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Поскольку область значений синуса — отрезок $[-1, 1]$, то $-1 \le t \le 1$.

Тогда исходная функция примет вид $f(t) = t^2 + 2t - 5$. Нам нужно найти наименьшее и наибольшее значения этой квадратичной функции на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком функции $f(t)$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $t^2$ положителен ($1 > 0$). Следовательно, свое наименьшее значение на отрезке она может принять либо в вершине, либо на одном из концов отрезка.

Найдем координату вершины параболы по оси абсцисс: $t_v = -b / (2a) = -2 / (2 \cdot 1) = -1$.

Вершина параболы $t_v = -1$ совпадает с левой границей отрезка $[-1, 1]$. Это означает, что на данном отрезке функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение будет в точке $t = -1$, а наибольшее — в точке $t = 1$.

Найдем эти значения:

Наименьшее значение: $y_{min} = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 5 = 1 - 2 - 5 = -6$.

Наибольшее значение: $y_{max} = f(1) = 1^2 + 2(1) - 5 = 1 + 2 - 5 = -2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -6, наибольшее значение равно -2.

б) $y = \sin^2 x - 3 \cos^2 x + 2 \cos x$

Приведем функцию к одной тригонометрической переменной, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

$y = (1 - \cos^2 x) - 3 \cos^2 x + 2 \cos x = -4 \cos^2 x + 2 \cos x + 1$.

Сделаем замену переменной $t = \cos x$. Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $-1 \le t \le 1$.

Получаем квадратичную функцию $f(t) = -4t^2 + 2t + 1$ на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $t^2$ отрицателен, $-4 < 0$). Наибольшее значение функция принимает в вершине.

Найдем координату вершины: $t_v = -b / (2a) = -2 / (2 \cdot (-4)) = 1/4$.

Значение $t_v = 1/4$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, значит, в этой точке функция достигает своего максимума.

$y_{max} = f(1/4) = -4(1/4)^2 + 2(1/4) + 1 = -4/16 + 2/4 + 1 = -1/4 + 1/2 + 1 = 5/4$.

Наименьшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка $[-1, 1]$. Вычислим значения функции в точках $t = -1$ и $t = 1$.

$f(-1) = -4(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -4 - 2 + 1 = -5$.

$f(1) = -4(1)^2 + 2(1) + 1 = -4 + 2 + 1 = -1$.

Сравнивая полученные значения, находим, что $y_{min} = -5$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -5, наибольшее значение равно $5/4$.

в) $y = 4 \cos^2 x - 4 \cos x - 2$

Сделаем замену переменной $t = \cos x$, где $-1 \le t \le 1$.

Получим квадратичную функцию $f(t) = 4t^2 - 4t - 2$ на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком является парабола с ветвями вверх ($4 > 0$), поэтому наименьшее значение она принимает в вершине.

Координата вершины: $t_v = -b / (2a) = -(-4) / (2 \cdot 4) = 4 / 8 = 1/2$.

Значение $t_v = 1/2$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, значит, в этой точке функция достигает своего минимума.

$y_{min} = f(1/2) = 4(1/2)^2 - 4(1/2) - 2 = 4(1/4) - 2 - 2 = 1 - 2 - 2 = -3$.

Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции в точках $t = -1$ и $t = 1$.

$f(-1) = 4(-1)^2 - 4(-1) - 2 = 4 + 4 - 2 = 6$.

$f(1) = 4(1)^2 - 4(1) - 2 = 4 - 4 - 2 = -2$.

Сравнивая значения, находим, что $y_{max} = 6$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -3, наибольшее значение равно 6.

г) $y = \cos^2 x - 3 \sin^2 x - 4 \sin x$

Используем тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, чтобы выразить функцию через одну переменную.

$y = (1 - \sin^2 x) - 3 \sin^2 x - 4 \sin x = -4 \sin^2 x - 4 \sin x + 1$.

Введем замену $t = \sin x$, где $-1 \le t \le 1$.

Рассмотрим квадратичную функцию $f(t) = -4t^2 - 4t + 1$ на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком является парабола с ветвями вниз ($-4 < 0$), поэтому наибольшее значение достигается в вершине.

Координата вершины: $t_v = -b / (2a) = -(-4) / (2 \cdot (-4)) = 4 / (-8) = -1/2$.

Точка $t_v = -1/2$ лежит в отрезке $[-1, 1]$, следовательно, максимум функции находится в этой точке.

$y_{max} = f(-1/2) = -4(-1/2)^2 - 4(-1/2) + 1 = -4(1/4) + 2 + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$.

Наименьшее значение ищем на концах отрезка $[-1, 1]$.

$f(-1) = -4(-1)^2 - 4(-1) + 1 = -4 + 4 + 1 = 1$.

$f(1) = -4(1)^2 - 4(1) + 1 = -4 - 4 + 1 = -7$.

Сравнивая значения, получаем $y_{min} = -7$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -7, наибольшее значение равно 2.