Номер 14.28, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.28. a) Вычислите ctg t, если известно, что $ \frac{2\sin t \cos t}{\cos^2 t - \sin^2 t} = \frac{3}{4} $ и $ \frac{\pi}{4} < t < \pi. $

б) Вычислите tg t, если известно, что $ \frac{2\sin^2 t + 3\sin t \cos t - \cos^2 t}{2\cos^2 t - \sin^2 t} = -\frac{1}{2} $ и $ -\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{2}. $

а) Дано равенство $\frac{2\sin t \cos t}{\cos^2 t - \sin^2 t} = \frac{3}{4}$ и условие $\frac{\pi}{4} < t < \pi$.
Преобразуем левую часть равенства, используя формулы двойного угла: $\sin(2t) = 2\sin t \cos t$ и $\cos(2t) = \cos^2 t - \sin^2 t$.
В результате получаем:
$\frac{\sin(2t)}{\cos(2t)} = \tan(2t)$
Таким образом, $\tan(2t) = \frac{3}{4}$.
Теперь воспользуемся формулой тангенса двойного угла, выраженной через котангенс искомой величины: $\tan(2t) = \frac{2\cot t}{\cot^2 t - 1}$.
Пусть $y = \cot t$. Уравнение примет вид:
$\frac{2y}{y^2 - 1} = \frac{3}{4}$
Применяя свойство пропорции (крест-накрест), получаем:
$4 \cdot (2y) = 3 \cdot (y^2 - 1)$
$8y = 3y^2 - 3$
$3y^2 - 8y - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$
$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm 10}{6}$
Получаем два возможных значения для $\cot t$:
$y_1 = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$y_2 = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
Для выбора правильного корня воспользуемся условием $\frac{\pi}{4} < t < \pi$. Этот интервал можно разбить на две части:
1. Если $\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{2}$ (I четверть), то $\cot t$ положителен, и так как котангенс убывает, $\cot t < \cot(\frac{\pi}{4}) = 1$. Таким образом, $0 < \cot t < 1$.
2. Если $\frac{\pi}{2} \le t < \pi$ (II четверть), то $\cot t$ не положителен ($\cot t \le 0$).
Сравним полученные корни с этими условиями:
- $\cot t = 3$. Это значение не попадает ни в один из диапазонов, так как $3 > 1$.
- $\cot t = -\frac{1}{3}$. Это значение удовлетворяет второму условию, так как $-\frac{1}{3} \le 0$.
Следовательно, единственное возможное значение — это $-\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

б) Дано равенство $\frac{2\sin^2 t + 3\sin t \cos t - \cos^2 t}{2\cos^2 t - \sin^2 t} = -\frac{1}{2}$ и условие $-\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{2}$.
Числитель и знаменатель дроби являются однородными выражениями второй степени относительно $\sin t$ и $\cos t$. В заданном интервале $\cos t \neq 0$ (равенство нулю достигается при $t=\frac{\pi}{2}$, но эта точка не входит в интервал), поэтому мы можем разделить числитель и знаменатель дроби на $\cos^2 t$:
$\frac{\frac{2\sin^2 t}{\cos^2 t} + \frac{3\sin t \cos t}{\cos^2 t} - \frac{\cos^2 t}{\cos^2 t}}{\frac{2\cos^2 t}{\cos^2 t} - \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}} = \frac{2\tan^2 t + 3\tan t - 1}{2 - \tan^2 t}$
Таким образом, мы получили уравнение относительно $\tan t$:
$\frac{2\tan^2 t + 3\tan t - 1}{2 - \tan^2 t} = -\frac{1}{2}$
Пусть $x = \tan t$. Уравнение примет вид:
$\frac{2x^2 + 3x - 1}{2 - x^2} = -\frac{1}{2}$
Умножим обе части на $2(2 - x^2)$, учитывая, что $2 - x^2 \neq 0$ (иначе знаменатель был бы равен 0):
$2(2x^2 + 3x - 1) = -1(2 - x^2)$
$4x^2 + 6x - 2 = -2 + x^2$
$3x^2 + 6x = 0$
$3x(x + 2) = 0$
Отсюда получаем два возможных значения для $x = \tan t$:
$x_1 = 0$ или $x_2 = -2$.
Теперь используем заданный интервал $-\frac{\pi}{4} < t < \frac{\pi}{2}$ для выбора правильного решения.
Функция $\tan t$ на этом интервале строго возрастает. Найдем значения тангенса на границах интервала (в левой точке):
$\tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$
Поскольку функция возрастает, для любого $t$ из интервала $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ должно выполняться неравенство $\tan t > -1$.
Рассмотрим наши решения:
1. $\tan t = 0$. Так как $0 > -1$, это решение подходит. Оно соответствует значению $t=0$, которое лежит в заданном интервале.
2. $\tan t = -2$. Так как $-2 < -1$, это решение не подходит, поскольку оно лежит вне диапазона возможных значений $\tan t$ на данном интервале.
Следовательно, единственно верным решением является $\tan t = 0$.
Ответ: $0$.