Номер 14.30, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

14.30. Зная, что $ctg t = a$, найдите:

a) $2 \sin^2 t + 3 \cos^2 t$;

б) $2 \sin^2 t - 3 \sin t \cos t - 5 \cos^2 t$.

а)

Чтобы найти значение выражения $2\sin^2 t + 3\cos^2 t$, зная, что $\text{ctg } t = a$, мы можем выразить его через котангенс. Для этого воспользуемся тем, что любое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1, а 1, в свою очередь, можно представить через основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

$$2\sin^2 t + 3\cos^2 t = \frac{2\sin^2 t + 3\cos^2 t}{1} = \frac{2\sin^2 t + 3\cos^2 t}{\sin^2 t + \cos^2 t}$$

Поскольку $\text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t}$ по условию равен $a$, это означает, что $\text{ctg } t$ определен, и, следовательно, $\sin t \neq 0$. Это дает нам право разделить числитель и знаменатель полученной дроби на $\sin^2 t$:

$$\frac{\frac{2\sin^2 t}{\sin^2 t} + \frac{3\cos^2 t}{\sin^2 t}}{\frac{\sin^2 t}{\sin^2 t} + \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}}$$

Используя определение котангенса $\text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t}$ (и, соответственно, $\text{ctg}^2 t = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$), упростим выражение:

$$\frac{2 + 3\text{ctg}^2 t}{1 + \text{ctg}^2 t}$$

Теперь подставим заданное значение $\text{ctg } t = a$:

$$\frac{2 + 3a^2}{1 + a^2}$$

Ответ: $\frac{2 + 3a^2}{1 + a^2}$.

б)

Для выражения $2\sin^2 t - 3\sin t \cos t - 5\cos^2 t$ применим тот же метод, что и в пункте а).

Представим выражение в виде дроби, разделив его на 1, который заменим на $\sin^2 t + \cos^2 t$:

$$2\sin^2 t - 3\sin t \cos t - 5\cos^2 t = \frac{2\sin^2 t - 3\sin t \cos t - 5\cos^2 t}{\sin^2 t + \cos^2 t}$$

Так как $\text{ctg } t = a$ существует, то $\sin t \neq 0$. Разделим числитель и знаменатель дроби на $\sin^2 t$:

$$\frac{\frac{2\sin^2 t}{\sin^2 t} - \frac{3\sin t \cos t}{\sin^2 t} - \frac{5\cos^2 t}{\sin^2 t}}{\frac{\sin^2 t}{\sin^2 t} + \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}}$$

Упростим каждый член дроби:

$$\frac{2 - 3\frac{\cos t}{\sin t} - 5\left(\frac{\cos t}{\sin t}\right)^2}{1 + \left(\frac{\cos t}{\sin t}\right)^2} = \frac{2 - 3\text{ctg } t - 5\text{ctg}^2 t}{1 + \text{ctg}^2 t}$$

Подставим значение $\text{ctg } t = a$:

$$\frac{2 - 3a - 5a^2}{1 + a^2}$$

Ответ: $\frac{2 - 3a - 5a^2}{1 + a^2}$.