Номер 16.24, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.24. Принадлежит ли графику функции $y = \cos x$ точка с координатами:

а) $(\frac{\pi}{3}; \frac{1}{2});$

б) $(\frac{\pi}{6}; \frac{1}{2});$

в) $(\frac{2\pi}{3}; -\frac{1}{2});$

г) $(\frac{5\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2})?$

Для того чтобы проверить, принадлежит ли точка с заданными координатами $(x_0; y_0)$ графику функции $y = \cos x$, необходимо подставить абсциссу точки $x_0$ в уравнение функции и вычислить соответствующее значение $y$. Если полученное значение $y$ совпадает с ординатой точки $y_0$, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

а) Проверим точку с координатами $(\frac{\pi}{3}; \frac{1}{2})$.

Подставляем $x = \frac{\pi}{3}$ в функцию $y = \cos x$:

$y = \cos(\frac{\pi}{3})$

Согласно таблице значений тригонометрических функций, косинус угла $\frac{\pi}{3}$ (что соответствует $60^\circ$) равен $\frac{1}{2}$.

Таким образом, мы получили $y = \frac{1}{2}$.

Сравниваем полученное значение с ординатой точки: $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. Равенство верное.

Ответ: да, принадлежит.

б) Проверим точку с координатами $(\frac{\pi}{6}; \frac{1}{2})$.

Подставляем $x = \frac{\pi}{6}$ в функцию $y = \cos x$:

$y = \cos(\frac{\pi}{6})$

Значение косинуса угла $\frac{\pi}{6}$ (что соответствует $30^\circ$) равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, мы получили $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сравниваем полученное значение с ординатой точки: $\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{1}{2}$. Равенство неверное.

Ответ: нет, не принадлежит.

в) Проверим точку с координатами $(\frac{2\pi}{3}; -\frac{1}{2})$.

Подставляем $x = \frac{2\pi}{3}$ в функцию $y = \cos x$:

$y = \cos(\frac{2\pi}{3})$

Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Для вычисления можно использовать формулу приведения: $\cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

$\cos(\frac{2\pi}{3}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, мы получили $y = -\frac{1}{2}$.

Сравниваем полученное значение с ординатой точки: $-\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$. Равенство верное.

Ответ: да, принадлежит.

г) Проверим точку с координатами $(\frac{5\pi}{6}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Подставляем $x = \frac{5\pi}{6}$ в функцию $y = \cos x$:

$y = \cos(\frac{5\pi}{6})$

Угол $\frac{5\pi}{6}$ также находится во второй четверти. Используем ту же формулу приведения:

$\cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, мы получили $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Сравниваем полученное значение с ординатой точки: $-\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Равенство верное.

Ответ: да, принадлежит.