Номер 16.25, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.25. Принадлежит ли графику функции $y = 2 \cos \left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$ точка с координатами:

а) $(0; \$\sqrt{3} + 1\$);

б) $(\$\frac{\pi}{6}\$; 1);

в) $(\$\frac{\pi}{2}\$; 2);

г) $(\$\frac{\pi}{6}\$; 3)?

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить ее координаты $(x; y)$ в уравнение функции. Если получится верное равенство, то точка принадлежит графику, в противном случае — не принадлежит.

а) Подставим координаты точки $(0; \sqrt{3} + 1)$ в уравнение функции $y = 2 \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$.
$\sqrt{3} + 1 = 2 \cos\left(0 - \frac{\pi}{6}\right) + 1$
$\sqrt{3} + 1 = 2 \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + 1$
Так как косинус является четной функцией, $\cos(-x) = \cos(x)$. Значение $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sqrt{3} + 1 = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1$
$\sqrt{3} + 1 = \sqrt{3} + 1$
Равенство верное, значит точка принадлежит графику функции.
Ответ: да.

б) Подставим координаты точки $\left(\frac{\pi}{6}; 1\right)$ в уравнение функции $y = 2 \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$.
$1 = 2 \cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}\right) + 1$
$1 = 2 \cos(0) + 1$
Значение $\cos(0) = 1$.
$1 = 2 \cdot 1 + 1$
$1 = 3$
Равенство неверное, значит точка не принадлежит графику функции.
Ответ: нет.

в) Подставим координаты точки $\left(\frac{\pi}{2}; 2\right)$ в уравнение функции $y = 2 \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$.
$2 = 2 \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) + 1$
$2 = 2 \cos\left(\frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6}\right) + 1$
$2 = 2 \cos\left(\frac{2\pi}{6}\right) + 1$
$2 = 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + 1$
Значение $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.
$2 = 2 \cdot \frac{1}{2} + 1$
$2 = 1 + 1$
$2 = 2$
Равенство верное, значит точка принадлежит графику функции.
Ответ: да.

г) Подставим координаты точки $\left(\frac{\pi}{6}; 3\right)$ в уравнение функции $y = 2 \cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) + 1$.
$3 = 2 \cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}\right) + 1$
$3 = 2 \cos(0) + 1$
Значение $\cos(0) = 1$.
$3 = 2 \cdot 1 + 1$
$3 = 3$
Равенство верное, значит точка принадлежит графику функции.
Ответ: да.