Номер 16.26, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.26. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos x$:

а) на отрезке $\left[ \frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3} \right];$

б) на интервале $\left( -\pi; \frac{\pi}{4} \right);$

в) на луче $\left[ -\frac{\pi}{4}; +\infty \right);$

г) на полуинтервале $\left[ -\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2} \right).$

а) на отрезке $[\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}]$
Функция $y = \cos x$ является убывающей на отрезке $[0; \pi]$. Заданный отрезок $[\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}]$ полностью содержится в отрезке $[0; \pi]$, следовательно, на нем функция $y = \cos x$ также монотонно убывает. Для монотонно убывающей функции на отрезке наибольшее значение достигается в его начале, а наименьшее — в конце.
Вычисляем значения на концах отрезка:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$.
Ответ: наименьшее значение $-\frac{1}{2}$, наибольшее значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) на интервале $(-\pi; \frac{\pi}{4})$
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения, исследуем поведение функции на данном интервале. Интервал содержит точку $x=0$, в которой функция $y = \cos x$ достигает своего глобального максимума.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = \cos(0) = 1$.
Наименьшее значение: Интервал является открытым. Рассмотрим поведение функции на его границах. При $x$, стремящемся к $-\pi$ справа, значение $\cos x$ стремится к $\cos(-\pi) = -1$. При $x$, стремящемся к $\frac{\pi}{4}$ слева, значение $\cos x$ стремится к $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку значение $-1$ является точной нижней гранью, но не достигается внутри интервала (так как $x = -\pi$ не принадлежит интервалу), наименьшего значения у функции на данном интервале не существует.
Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшего значения не существует.

в) на луче $[-\frac{\pi}{4}; +\infty)$
Функция $y = \cos x$ является периодической, и ее область значений на всей числовой прямой — отрезок $[-1; 1]$. Заданный луч $[-\frac{\pi}{4}; +\infty)$ неограничен справа, а значит, на нем функция примет все свои возможные значения.
Наибольшее значение функции $\cos x$ равно $1$. Оно достигается в точках $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Например, точка $x=0$ (при $k=0$) принадлежит лучу $[-\frac{\pi}{4}; +\infty)$. Таким образом, $y_{наиб} = 1$.
Наименьшее значение функции $\cos x$ равно $-1$. Оно достигается в точках $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Например, точка $x=\pi$ (при $k=0$) принадлежит лучу $[-\frac{\pi}{4}; +\infty)$. Таким образом, $y_{наим} = -1$.
Ответ: наименьшее значение $-1$, наибольшее значение $1$.

г) на полуинтервале $[-\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2})$
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на полуинтервале нужно проверить значения функции в точках экстремума, попадающих в этот интервал, а также на его концах.
Точки экстремума функции $y = \cos x$: $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
В интервал $[-\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{2})$ попадают точки $x=0$ и $x=\pi$.
Значения функции в этих точках:
$y(0) = \cos(0) = 1$
$y(\pi) = \cos(\pi) = -1$
Значение на левом (включенном) конце интервала:
$y(-\frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
На правом (исключенном) конце интервала значение не достигается, но мы можем найти предел:
$\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}^-} \cos x = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$
Сравнивая полученные значения ($1, -1, \frac{1}{2}$), заключаем, что наибольшее значение равно $1$, а наименьшее равно $-1$. Оба значения достигаются внутри интервала.
Ответ: наименьшее значение $-1$, наибольшее значение $1$.