Номер 16.33, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.33. Вычислите:

а) $\cos (t + 4\pi)$, если $\cos (2\pi - t) = -\frac{3}{5}$;

б) $\sin (32\pi - t)$, если $\sin (2\pi - t) = \frac{5}{13}$.

а) Для решения этой задачи используем свойства периодичности и четности функции косинус.

1. Функция $y = \cos(x)$ является периодической с основным периодом $T = 2\pi$. Это означает, что для любого целого числа $k$ выполняется равенство $\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$.

В выражении $\cos(t + 4\pi)$ можно заметить, что $4\pi = 2 \cdot 2\pi$. Таким образом, мы можем применить свойство периодичности при $k=2$:

$\cos(t + 4\pi) = \cos(t + 2 \cdot 2\pi) = \cos(t)$.

Следовательно, задача сводится к нахождению значения $\cos(t)$.

2. Рассмотрим данное в условии равенство: $\cos(2\pi - t) = -\frac{3}{5}$.

Для упрощения выражения $\cos(2\pi - t)$ воспользуемся формулами приведения. Угол $(2\pi - t)$ находится в IV четверти (если считать $t$ малым острым углом), где косинус положителен. Так как мы вычитаем из $2\pi$, название функции не меняется. Таким образом:

$\cos(2\pi - t) = \cos(t)$.

Это же можно получить, используя свойства периодичности и четности: $\cos(2\pi - t) = \cos(-t)$, а так как косинус — четная функция ($\cos(-x) = \cos(x)$), то $\cos(-t) = \cos(t)$.

3. Сопоставляя полученные результаты, имеем:

Из условия: $\cos(2\pi - t) = -\frac{3}{5}$.

Из преобразований: $\cos(2\pi - t) = \cos(t)$.

Следовательно, $\cos(t) = -\frac{3}{5}$.

А поскольку нам нужно было найти $\cos(t + 4\pi)$, которое равно $\cos(t)$, то искомое значение также равно $-\frac{3}{5}$.

Ответ: $-\frac{3}{5}$.

б) Для решения этой задачи используем свойство периодичности функции синус.

1. Функция $y = \sin(x)$ является периодической с основным периодом $T = 2\pi$. Это означает, что для любого целого числа $k$ выполняется равенство $\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)$.

Рассмотрим выражение, которое нужно вычислить: $\sin(32\pi - t)$.

Представим $32\pi$ как $16 \cdot 2\pi$. Тогда выражение можно переписать так:

$\sin(32\pi - t) = \sin(-t + 16 \cdot 2\pi)$.

Применяя свойство периодичности при $k=16$, получаем:

$\sin(-t + 16 \cdot 2\pi) = \sin(-t)$.

2. Теперь рассмотрим данное в условии равенство: $\sin(2\pi - t) = \frac{5}{13}$.

Упростим выражение $\sin(2\pi - t)$, используя свойство периодичности при $k=1$:

$\sin(2\pi - t) = \sin(-t + 2\pi) = \sin(-t)$.

3. Сопоставляя полученные результаты, имеем:

Из пункта 1: $\sin(32\pi - t) = \sin(-t)$.

Из пункта 2: $\sin(2\pi - t) = \sin(-t)$.

Следовательно, $\sin(32\pi - t) = \sin(2\pi - t)$.

Поскольку по условию нам дано, что $\sin(2\pi - t) = \frac{5}{13}$, то искомое значение равно этому же числу.

$\sin(32\pi - t) = \frac{5}{13}$.

Ответ: $\frac{5}{13}$.