Номер 16.38, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.38. Найдите все целочисленные значения функции:

а) $y = 5 + 4 \cos x;$

б) $y = \sqrt{2 - 7 \cos x};$

в) $y = 3 - 2 \sin x;$

г) $y = \sqrt{11 + 2 \sin x}.$

а) $y = 5 + 4 \cos x$

Для нахождения всех целочисленных значений функции необходимо сначала определить ее область значений. В основе лежит функция косинуса, область значений которой — отрезок $[-1, 1]$.

1. Запишем неравенство для $\cos x$:

$-1 \le \cos x \le 1$

2. Умножим все части неравенства на 4:

$4 \cdot (-1) \le 4 \cos x \le 4 \cdot 1$

$-4 \le 4 \cos x \le 4$

3. Прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$5 - 4 \le 5 + 4 \cos x \le 5 + 4$

$1 \le y \le 9$

Таким образом, область значений функции — это отрезок $[1, 9]$. Все целые числа, входящие в этот отрезок, являются искомыми значениями.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

б) $y = \sqrt{2 - 7 \cos x}$

Найдем область значений подкоренного выражения $2 - 7 \cos x$, исходя из того, что $-1 \le \cos x \le 1$.

1. Умножим неравенство $-1 \le \cos x \le 1$ на -7. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-7) \cdot 1 \le -7 \cos x \le (-7) \cdot (-1)$

$-7 \le -7 \cos x \le 7$

2. Прибавим 2 ко всем частям:

$2 - 7 \le 2 - 7 \cos x \le 2 + 7$

$-5 \le 2 - 7 \cos x \le 9$

3. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $2 - 7 \cos x \ge 0$. Совмещая это условие с полученным диапазоном, получаем, что область значений подкоренного выражения — это отрезок $[0, 9]$.

4. Теперь найдем область значений для $y$, взяв квадратный корень из границ этого отрезка:

$\sqrt{0} \le \sqrt{2 - 7 \cos x} \le \sqrt{9}$

$0 \le y \le 3$

Область значений функции $y$ — это отрезок $[0, 3]$. Целые числа на этом отрезке: 0, 1, 2, 3.

Ответ: 0, 1, 2, 3.

в) $y = 3 - 2 \sin x$

Аналогично пункту а), найдем область значений функции, используя свойство функции синуса: $-1 \le \sin x \le 1$.

1. Умножим неравенство на -2, меняя знаки неравенства:

$(-2) \cdot 1 \le -2 \sin x \le (-2) \cdot (-1)$

$-2 \le -2 \sin x \le 2$

2. Прибавим 3 ко всем частям:

$3 - 2 \le 3 - 2 \sin x \le 3 + 2$

$1 \le y \le 5$

Область значений функции $y$ — это отрезок $[1, 5]$. Целые числа на этом отрезке: 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

г) $y = \sqrt{11 + 2 \sin x}$

Найдем область значений подкоренного выражения $11 + 2 \sin x$, исходя из того, что $-1 \le \sin x \le 1$.

1. Умножим неравенство на 2:

$2 \cdot (-1) \le 2 \sin x \le 2 \cdot 1$

$-2 \le 2 \sin x \le 2$

2. Прибавим 11 ко всем частям:

$11 - 2 \le 11 + 2 \sin x \le 11 + 2$

$9 \le 11 + 2 \sin x \le 13$

3. Подкоренное выражение всегда положительно. Найдем область значений для $y$, взяв квадратный корень:

$\sqrt{9} \le \sqrt{11 + 2 \sin x} \le \sqrt{13}$

$3 \le y \le \sqrt{13}$

4. Оценим значение $\sqrt{13}$. Так как $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, то $3 < \sqrt{13} < 4$. Следовательно, область значений функции $y$ — это отрезок $[3, \sqrt{13}]$.

Единственное целое число, принадлежащее этому отрезку, — это 3.

Ответ: 3.