Номер 16.34, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.34. Решите уравнение:

a) $\sin (t + 2\pi) + \sin (t - 4\pi) = 1$;

б) $3 \cos (2\pi + t) + \cos (t - 2\pi) + 2 = 0$;

в) $\sin (t + 4\pi) + \sin (t - 6\pi) = \sqrt{3}$;

г) $\cos (t + 2\pi) + \cos (t - 8\pi) = \sqrt{2}$.

а) $\sin(t + 2\pi) + \sin(t - 4\pi) = 1$

Воспользуемся свойством периодичности функции синус: $\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)$, где $k$ — любое целое число. Период синуса равен $2\pi$.

Поскольку $2\pi$ и $-4\pi$ являются целыми кратными периода $2\pi$, мы можем упростить уравнение:

$\sin(t + 2\pi) = \sin(t)$

$\sin(t - 4\pi) = \sin(t - 2 \cdot 2\pi) = \sin(t)$

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$\sin(t) + \sin(t) = 1$

$2\sin(t) = 1$

$\sin(t) = \frac{1}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$t = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$t = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $t = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

б) $3\cos(2\pi + t) + \cos(t - 2\pi) + 2 = 0$

Воспользуемся свойством периодичности функции косинус: $\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$, где $k$ — любое целое число. Период косинуса равен $2\pi$.

Упростим члены уравнения:

$\cos(2\pi + t) = \cos(t)$

$\cos(t - 2\pi) = \cos(t)$

Подставим упрощенные выражения в уравнение:

$3\cos(t) + \cos(t) + 2 = 0$

$4\cos(t) + 2 = 0$

$4\cos(t) = -2$

$\cos(t) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Решения этого уравнения имеют вид:

$t = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $t = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

в) $\sin(t + 4\pi) + \sin(t - 6\pi) = \sqrt{3}$

Используем свойство периодичности функции синус $\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)$.

Упростим члены уравнения:

$\sin(t + 4\pi) = \sin(t + 2 \cdot 2\pi) = \sin(t)$

$\sin(t - 6\pi) = \sin(t - 3 \cdot 2\pi) = \sin(t)$

Подставим в исходное уравнение:

$\sin(t) + \sin(t) = \sqrt{3}$

$2\sin(t) = \sqrt{3}$

$\sin(t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого уравнения:

$t = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$t = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $t = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

г) $\cos(t + 2\pi) + \cos(t - 8\pi) = \sqrt{2}$

Используем свойство периодичности функции косинус $\cos(x + 2\pi k) = \cos(x)$.

Упростим члены уравнения:

$\cos(t + 2\pi) = \cos(t)$

$\cos(t - 8\pi) = \cos(t - 4 \cdot 2\pi) = \cos(t)$

Подставим в исходное уравнение:

$\cos(t) + \cos(t) = \sqrt{2}$

$2\cos(t) = \sqrt{2}$

$\cos(t) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Решения этого уравнения:

$t = \pm \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$