Номер 16.37, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.37. a) $y = \sin^2 x - 6 \sin x + 8;$

б) $y = \sqrt{2 - \cos x};$

в) $y = \cos^2 x + \cos x + 2;$

г) $y = \sqrt{8 \sin x - 4}.$

а) $y = \sin^2 x - 6 \sin x + 8$

Для нахождения области значений функции ($E(y)$) введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$.

Область значений функции синуса есть отрезок $[-1, 1]$, следовательно, новая переменная $t$ может принимать значения в пределах $t \in [-1, 1]$.

Задача сводится к нахождению множества значений квадратичной функции $f(t) = t^2 - 6t + 8$ на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $t^2$ положителен ($1 > 0$).

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $t_в = -b/(2a)$:

$t_в = -(-6)/(2 \cdot 1) = 3$.

Поскольку вершина параболы $t_в = 3$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$ и находится правее его, функция $f(t)$ на всем отрезке $[-1, 1]$ монотонно убывает.

Это означает, что наибольшее значение функция примет в левой границе отрезка ($t=-1$), а наименьшее — в правой ($t=1$).

Вычислим эти значения:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = f(-1) = (-1)^2 - 6(-1) + 8 = 1 + 6 + 8 = 15$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = f(1) = 1^2 - 6(1) + 8 = 1 - 6 + 8 = 3$.

Таким образом, область значений исходной функции — это отрезок $[3, 15]$.

Ответ: $E(y) = [3; 15]$.

б) $y = \sqrt{2 - \cos x}$

Чтобы найти область значений функции, проанализируем выражение под корнем.

Известно, что область значений функции косинуса — это отрезок $[-1, 1]$, то есть:

$-1 \le \cos x \le 1$.

Умножим все части неравенства на $-1$, изменив знаки неравенства на противоположные:

$1 \ge -\cos x \ge -1$, или, что то же самое, $-1 \le -\cos x \le 1$.

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$2 - 1 \le 2 - \cos x \le 2 + 1$.

$1 \le 2 - \cos x \le 3$.

Мы получили, что подкоренное выражение всегда находится в пределах от 1 до 3, то есть оно всегда положительно. Функция $y$ определена для любых $x$.

Функция $f(u) = \sqrt{u}$ является возрастающей. Следовательно, мы можем извлечь квадратный корень из каждой части неравенства, сохранив его знаки:

$\sqrt{1} \le \sqrt{2 - \cos x} \le \sqrt{3}$.

$1 \le y \le \sqrt{3}$.

Область значений функции — это отрезок $[1, \sqrt{3}]$.

Ответ: $E(y) = [1; \sqrt{3}]$.

в) $y = \cos^2 x + \cos x + 2$

Для нахождения области значений функции введем замену $t = \cos x$.

Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то переменная $t$ изменяется в пределах отрезка $[-1, 1]$.

Задача сводится к нахождению множества значений квадратичной функции $f(t) = t^2 + t + 2$ на отрезке $[-1, 1]$.

Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a=1 > 0$).

Найдем абсциссу вершины параболы: $t_в = -b/(2a) = -1/(2 \cdot 1) = -0.5$.

Вершина параболы $t_в = -0.5$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$. В этой точке функция достигает своего минимума.

Наименьшее значение: $y_{наим} = f(-0.5) = (-0.5)^2 + (-0.5) + 2 = 0.25 - 0.5 + 2 = 1.75$ (или $7/4$).

Наибольшее значение функция достигает на одном из концов отрезка $[-1, 1]$. Найдем значения функции в этих точках:

$f(-1) = (-1)^2 + (-1) + 2 = 1 - 1 + 2 = 2$.

$f(1) = 1^2 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 = 4$.

Сравнивая полученные значения, заключаем, что наибольшее значение равно 4.

$y_{наиб} = 4$.

Таким образом, область значений функции — это отрезок $[1.75, 4]$.

Ответ: $E(y) = [1.75; 4]$.

г) $y = \sqrt{8 \sin x - 4}$

Сначала найдем область определения функции, так как выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$8 \sin x - 4 \ge 0$.

$8 \sin x \ge 4$.

$\sin x \ge \frac{1}{2}$.

С учетом того, что $-1 \le \sin x \le 1$, получаем, что $\sin x$ может принимать значения только из отрезка $[\frac{1}{2}, 1]$.

Теперь найдем, какие значения принимает выражение $8 \sin x - 4$ при условии $\frac{1}{2} \le \sin x \le 1$.

Это линейная возрастающая функция от $\sin x$. Ее наименьшее значение будет при $\sin x = 1/2$, а наибольшее при $\sin x = 1$.

Наименьшее значение подкоренного выражения: $8 \cdot \frac{1}{2} - 4 = 4 - 4 = 0$.

Наибольшее значение подкоренного выражения: $8 \cdot 1 - 4 = 8 - 4 = 4$.

Итак, $0 \le 8 \sin x - 4 \le 4$.

Так как функция $f(u) = \sqrt{u}$ возрастающая, то:

$\sqrt{0} \le \sqrt{8 \sin x - 4} \le \sqrt{4}$.

$0 \le y \le 2$.

Следовательно, область значений функции — это отрезок $[0, 2]$.

Ответ: $E(y) = [0; 2]$.