Номер 16.32, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

o16.32. Преобразуйте заданное выражение ($ \sin t $ или $ \cos t $) к виду $ \sin t_0 $ или $ \cos t_0 $, так, чтобы выполнялось соотношение $ 0 < t_0 < 2\pi $:

a) $ \sin 8 $;

б) $ \cos (-10) $;

в) $ \sin (-25) $;

г) $ \cos 35 $.

Для решения задачи воспользуемся свойством периодичности тригонометрических функций $ \sin t $ и $ \cos t $. Их период равен $ 2\pi $, что означает $ \sin(t) = \sin(t + 2\pi k) $ и $ \cos(t) = \cos(t + 2\pi k) $ для любого целого числа $ k $. Наша цель — для каждого заданного угла $ t $ найти такое целое $ k $, чтобы новый угол $ t_0 = t + 2\pi k $ удовлетворял условию $ 0 < t_0 < 2\pi $. Для вычислений будем использовать приближенное значение $ \pi \approx 3.14159 $, откуда $ 2\pi \approx 6.28318 $.

а) sin 8

Ищем такое целое число $ k $, чтобы выполнялось неравенство $ 0 < 8 + 2\pi k < 2\pi $.

Решим это неравенство относительно $ k $:

$ -8 < 2\pi k < 2\pi - 8 $

$ -\frac{8}{2\pi} < k < \frac{2\pi - 8}{2\pi} $

$ -\frac{4}{\pi} < k < 1 - \frac{4}{\pi} $

Подставим приближенное значение $ \pi \approx 3.14 $:

$ -\frac{4}{3.14} < k < 1 - \frac{4}{3.14} $

$ -1.27 < k < -0.27 $

Единственное целое число $ k $ в этом интервале — это $ -1 $.

Тогда $ t_0 = 8 + 2\pi(-1) = 8 - 2\pi $.

Проверим, что $ t_0 $ находится в нужном интервале: $ t_0 \approx 8 - 2 \cdot 3.14159 = 8 - 6.28318 = 1.71682 $. Действительно, $ 0 < 1.71682 < 2\pi $.

Следовательно, $ \sin 8 = \sin(8 - 2\pi) $.

Ответ: $ \sin(8 - 2\pi) $.

б) cos(-10)

Ищем такое целое число $ k $, чтобы для $ t_0 = -10 + 2\pi k $ выполнялось неравенство $ 0 < t_0 < 2\pi $.

Решим неравенство относительно $ k $:

$ 0 < -10 + 2\pi k < 2\pi $

$ 10 < 2\pi k < 10 + 2\pi $

$ \frac{10}{2\pi} < k < \frac{10 + 2\pi}{2\pi} $

$ \frac{5}{\pi} < k < \frac{5}{\pi} + 1 $

Подставим приближенное значение $ \pi \approx 3.14 $:

$ \frac{5}{3.14} < k < \frac{5}{3.14} + 1 $

$ 1.59 < k < 2.59 $

Единственное целое число $ k $ в этом интервале — это $ 2 $.

Тогда $ t_0 = -10 + 2\pi(2) = 4\pi - 10 $.

Проверим, что $ t_0 $ находится в нужном интервале: $ t_0 \approx 4 \cdot 3.14159 - 10 = 12.56636 - 10 = 2.56636 $. Действительно, $ 0 < 2.56636 < 2\pi $.

Следовательно, $ \cos(-10) = \cos(4\pi - 10) $.

Ответ: $ \cos(4\pi - 10) $.

в) sin(-25)

Ищем такое целое число $ k $, чтобы для $ t_0 = -25 + 2\pi k $ выполнялось неравенство $ 0 < t_0 < 2\pi $.

Решим неравенство относительно $ k $:

$ 0 < -25 + 2\pi k < 2\pi $

$ 25 < 2\pi k < 25 + 2\pi $

$ \frac{25}{2\pi} < k < \frac{25 + 2\pi}{2\pi} $

$ \frac{25}{2\pi} < k < \frac{25}{2\pi} + 1 $

Подставим приближенное значение $ 2\pi \approx 6.28 $:

$ \frac{25}{6.28} < k < \frac{25}{6.28} + 1 $

$ 3.98 < k < 4.98 $

Единственное целое число $ k $ в этом интервале — это $ 4 $.

Тогда $ t_0 = -25 + 2\pi(4) = 8\pi - 25 $.

Проверим, что $ t_0 $ находится в нужном интервале: $ t_0 \approx 8 \cdot 3.14159 - 25 = 25.13272 - 25 = 0.13272 $. Действительно, $ 0 < 0.13272 < 2\pi $.

Следовательно, $ \sin(-25) = \sin(8\pi - 25) $.

Ответ: $ \sin(8\pi - 25) $.

г) cos 35

Ищем такое целое число $ k $, чтобы для $ t_0 = 35 + 2\pi k $ выполнялось неравенство $ 0 < t_0 < 2\pi $.

Решим неравенство относительно $ k $:

$ 0 < 35 + 2\pi k < 2\pi $

$ -35 < 2\pi k < 2\pi - 35 $

$ -\frac{35}{2\pi} < k < \frac{2\pi - 35}{2\pi} $

$ -\frac{35}{2\pi} < k < 1 - \frac{35}{2\pi} $

Подставим приближенное значение $ 2\pi \approx 6.28 $:

$ -\frac{35}{6.28} < k < 1 - \frac{35}{6.28} $

$ -5.57 < k < 1 - 5.57 $

$ -5.57 < k < -4.57 $

Единственное целое число $ k $ в этом интервале — это $ -5 $.

Тогда $ t_0 = 35 + 2\pi(-5) = 35 - 10\pi $.

Проверим, что $ t_0 $ находится в нужном интервале: $ t_0 \approx 35 - 10 \cdot 3.14159 = 35 - 31.4159 = 3.5841 $. Действительно, $ 0 < 3.5841 < 2\pi $.

Следовательно, $ \cos(35) = \cos(35 - 10\pi) $.

Ответ: $ \cos(35 - 10\pi) $.