Номер 16.36, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.36. а) $y = \frac{1}{\sin x + 2};$

б) $y = \frac{8}{3 \cos x - 5};$

В) $y = \frac{2}{\sin x - 3};$

Г) $y = \frac{15}{4 + \cos x}.$

а) Чтобы найти область значений функции $y = \frac{1}{\sin x + 2}$, сначала определим область значений ее знаменателя. Известно, что функция синуса $ \sin x $ принимает значения в диапазоне от -1 до 1, то есть $-1 \le \sin x \le 1$.
Прибавим 2 ко всем частям этого двойного неравенства:
$-1 + 2 \le \sin x + 2 \le 1 + 2$
$1 \le \sin x + 2 \le 3$.
Таким образом, знаменатель функции принимает значения на отрезке $[1, 3]$. Так как знаменатель всегда положителен, а функция $f(t) = \frac{1}{t}$ является убывающей для $t>0$, то наименьшему значению знаменателя будет соответствовать наибольшее значение функции $y$, и наоборот.
Наибольшее значение функции достигается при наименьшем значении знаменателя: $y_{max} = \frac{1}{1} = 1$.
Наименьшее значение функции достигается при наибольшем значении знаменателя: $y_{min} = \frac{1}{3}$.
Следовательно, область значений функции — это отрезок $[\frac{1}{3}, 1]$.
Ответ: $E(y) = [\frac{1}{3}; 1]$.

б) Чтобы найти область значений функции $y = \frac{8}{3 \cos x - 5}$, найдем область значений ее знаменателя. Функция косинуса $ \cos x $ принимает значения в диапазоне от -1 до 1, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.
Умножим все части неравенства на 3:
$-3 \le 3 \cos x \le 3$.
Теперь вычтем 5 из всех частей неравенства:
$-3 - 5 \le 3 \cos x - 5 \le 3 - 5$
$-8 \le 3 \cos x - 5 \le -2$.
Знаменатель функции принимает значения на отрезке $[-8, -2]$. Так как знаменатель всегда отрицателен, а функция $f(t) = \frac{8}{t}$ является убывающей для $t<0$, то наименьшему значению знаменателя (наиболее отрицательному) будет соответствовать наибольшее значение функции, и наоборот.
Наибольшее значение функции (наименее отрицательное) достигается при знаменателе, равном -8: $y_{max} = \frac{8}{-8} = -1$.
Наименьшее значение функции (наиболее отрицательное) достигается при знаменателе, равном -2: $y_{min} = \frac{8}{-2} = -4$.
Следовательно, область значений функции — это отрезок $[-4, -1]$.
Ответ: $E(y) = [-4; -1]$.

в) Чтобы найти область значений функции $y = \frac{2}{\sin x - 3}$, найдем область значений ее знаменателя. Функция синуса $ \sin x $ принимает значения в диапазоне от -1 до 1: $-1 \le \sin x \le 1$.
Вычтем 3 из всех частей неравенства:
$-1 - 3 \le \sin x - 3 \le 1 - 3$
$-4 \le \sin x - 3 \le -2$.
Знаменатель функции принимает значения на отрезке $[-4, -2]$. Так как знаменатель всегда отрицателен, а функция $f(t) = \frac{2}{t}$ является убывающей для $t<0$, то наименьшему значению знаменателя будет соответствовать наибольшее значение функции.
Наибольшее значение функции достигается при знаменателе, равном -4: $y_{max} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$.
Наименьшее значение функции достигается при знаменателе, равном -2: $y_{min} = \frac{2}{-2} = -1$.
Следовательно, область значений функции — это отрезок $[-1, -\frac{1}{2}]$.
Ответ: $E(y) = [-1; -\frac{1}{2}]$.

г) Чтобы найти область значений функции $y = \frac{15}{4 + \cos x}$, найдем область значений ее знаменателя. Функция косинуса $ \cos x $ принимает значения в диапазоне от -1 до 1: $-1 \le \cos x \le 1$.
Прибавим 4 ко всем частям неравенства:
$4 - 1 \le 4 + \cos x \le 4 + 1$
$3 \le 4 + \cos x \le 5$.
Знаменатель функции принимает значения на отрезке $[3, 5]$. Так как знаменатель всегда положителен, а функция $f(t) = \frac{15}{t}$ является убывающей для $t>0$, то наименьшему значению знаменателя будет соответствовать наибольшее значение функции.
Наибольшее значение функции достигается при знаменателе, равном 3: $y_{max} = \frac{15}{3} = 5$.
Наименьшее значение функции достигается при знаменателе, равном 5: $y_{min} = \frac{15}{5} = 3$.
Следовательно, область значений функции — это отрезок $[3, 5]$.
Ответ: $E(y) = [3; 5]$.