Номер 16.39, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

16.39. а) $y = \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right)$;

б) $y = \cos x - 2$;

в) $y = \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right)$;

г) $y = \cos x + 1,5$.

a) Для построения графика функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$ используется график базовой функции $y = \cos x$, который подвергается преобразованию.

Данное преобразование является сдвигом (параллельным переносом) графика вдоль оси абсцисс (оси Ox). Общий вид такого преобразования — $y = f(x+c)$. Поскольку в нашем случае $c = \frac{\pi}{6} > 0$, сдвиг происходит влево на $\frac{\pi}{6}$ единиц.

Таким образом, для построения искомого графика необходимо сначала построить график $y = \cos x$ (стандартную косинусоиду), а затем сдвинуть его целиком влево на $\frac{\pi}{6}$.

Ключевые точки графика $y = \cos x$, такие как $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$ и $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, сместятся в новые положения:
Максимум в точке $(0 - \frac{\pi}{6}, 1) \rightarrow (-\frac{\pi}{6}, 1)$;
Нуль функции в точке $(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}, 0) \rightarrow (\frac{\pi}{3}, 0)$;
Минимум в точке $(\pi - \frac{\pi}{6}, -1) \rightarrow (\frac{5\pi}{6}, -1)$;
Нуль функции в точке $(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6}, 0) \rightarrow (\frac{4\pi}{3}, 0)$.

Соединив эти новые точки плавной линией, мы получим график функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$.

Ответ: График функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos x$ вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{6}$ влево.

б) Для построения графика функции $y = \cos x - 2$ используется график базовой функции $y = \cos x$.

Данное преобразование является сдвигом (параллельным переносом) графика вдоль оси ординат (оси Oy). Общий вид такого преобразования — $y = f(x) + d$. Поскольку в нашем случае $d = -2$, сдвиг происходит вниз на 2 единицы.

Для построения графика нужно сначала построить график $y = \cos x$, а затем сдвинуть его целиком вниз на 2 единицы. При этом форма графика (период и амплитуда) сохраняется, но изменяется его положение и область значений.

Ключевые точки графика $y = \cos x$, такие как $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, сместятся в новые положения:
Максимум в точке $(0, 1 - 2) \rightarrow (0, -1)$;
Пересечение с осью симметрии в точке $(\frac{\pi}{2}, 0 - 2) \rightarrow (\frac{\pi}{2}, -2)$;
Минимум в точке $(\pi, -1 - 2) \rightarrow (\pi, -3)$.
Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[-3, -1]$.

Соединив новые точки плавной кривой, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = \cos x - 2$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos x$ вдоль оси ординат на 2 единицы вниз.

в) Для построения графика функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{3})$ используется график базовой функции $y = \cos x$.

Данное преобразование является сдвигом (параллельным переносом) графика вдоль оси абсцисс (оси Ox). Общий вид такого преобразования — $y = f(x-c)$. Поскольку в нашем случае $c = \frac{\pi}{3} > 0$, сдвиг происходит вправо на $\frac{\pi}{3}$ единиц.

Следовательно, для построения графика нужно сначала построить график $y = \cos x$, а затем сдвинуть его целиком вправо на $\frac{\pi}{3}$.

Ключевые точки графика $y = \cos x$, такие как $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$ и $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, сместятся в новые положения:
Максимум в точке $(0 + \frac{\pi}{3}, 1) \rightarrow (\frac{\pi}{3}, 1)$;
Нуль функции в точке $(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}, 0) \rightarrow (\frac{5\pi}{6}, 0)$;
Минимум в точке $(\pi + \frac{\pi}{3}, -1) \rightarrow (\frac{4\pi}{3}, -1)$;
Нуль функции в точке $(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3}, 0) \rightarrow (\frac{11\pi}{6}, 0)$.

Соединив эти новые точки плавной линией, мы получим график функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{3})$.

Ответ: График функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{3})$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos x$ вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{3}$ вправо.

г) Для построения графика функции $y = \cos x + 1,5$ используется график базовой функции $y = \cos x$.

Данное преобразование является сдвигом (параллельным переносом) графика вдоль оси ординат (оси Oy). Общий вид такого преобразования — $y = f(x) + d$. Поскольку в нашем случае $d = 1,5 > 0$, сдвиг происходит вверх на 1,5 единицы.

Для построения графика нужно сначала построить график $y = \cos x$, а затем сдвинуть его целиком вверх на 1,5 единицы. Форма графика сохраняется, но изменяется его положение и область значений.

Ключевые точки графика $y = \cos x$, такие как $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, сместятся в новые положения:
Максимум в точке $(0, 1 + 1,5) \rightarrow (0, 2,5)$;
Пересечение с осью симметрии в точке $(\frac{\pi}{2}, 0 + 1,5) \rightarrow (\frac{\pi}{2}, 1,5)$;
Минимум в точке $(\pi, -1 + 1,5) \rightarrow (\pi, 0,5)$.
Область значений функции изменится с $[-1, 1]$ на $[0,5, 2,5]$.

Соединив новые точки плавной кривой, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = \cos x + 1,5$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos x$ вдоль оси ординат на 1,5 единицы вверх.