Номер 16.44, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.44. Исследуйте функцию $y = \cos x$ на монотонность на заданном промежутке:

a) $[3\pi; 4\pi];$

б) $[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}];$

в) $(\frac{7\pi}{3}; \frac{17\pi}{6});$

г) $(\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6}).$

Для исследования функции $y = \cos x$ на монотонность на заданных промежутках, мы будем использовать ее производную. Производная функции $y = \cos x$ равна $y' = -\sin x$.

Функция возрастает на тех промежутках, где ее производная положительна ($y' > 0$), и убывает на тех, где ее производная отрицательна ($y' < 0$).

• $y' = -\sin x > 0 \implies \sin x < 0$. Это происходит на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$. На этих промежутках функция $y = \cos x$ возрастает.
• $y' = -\sin x < 0 \implies \sin x > 0$. Это происходит на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$. На этих промежутках функция $y = \cos x$ убывает.

Точки, в которых $\sin x = 0$, то есть $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$, являются точками экстремума.

а) Исследуем промежуток $[3\pi; 4\pi]$.
Найдем, какому стандартному промежутку монотонности соответствует данный отрезок.Промежуток возрастания функции $y = \cos x$ имеет вид $[\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k]$. При $k=1$ получаем промежуток $[\pi + 2\pi, 2\pi + 2\pi]$, то есть $[3\pi, 4\pi]$.Таким образом, заданный промежуток полностью совпадает с одним из промежутков возрастания функции.Можно также проверить с помощью производной. Для любого $x \in (3\pi, 4\pi)$, угол $x$ (если отбросить полный оборот $2\pi$) находится в интервале $(\pi, 2\pi)$. На этом интервале $\sin x < 0$.Следовательно, производная $y' = -\sin x > 0$. Это означает, что функция $y = \cos x$ возрастает на всем промежутке $[3\pi; 4\pi]$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[3\pi; 4\pi]$.

б) Исследуем промежуток $[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]$.
Этот промежуток содержит точку $x=0$, которая является точкой экстремума (максимума) для функции $y = \cos x$, так как $y'(0) = -\sin(0) = 0$. Наличие точки экстремума внутри промежутка означает, что функция не является монотонной на всем этом промежутке.Разобьем данный промежуток на два: $[-\frac{\pi}{3}, 0]$ и $[0, \frac{\pi}{3}]$.1. На промежутке $[-\frac{\pi}{3}, 0]$. Для $x \in (-\frac{\pi}{3}, 0)$, угол находится в IV четверти, где $\sin x < 0$. Значит, $y' = -\sin x > 0$. Функция возрастает.2. На промежутке $[0, \frac{\pi}{3}]$. Для $x \in (0, \frac{\pi}{3})$, угол находится в I четверти, где $\sin x > 0$. Значит, $y' = -\sin x < 0$. Функция убывает.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[-\frac{\pi}{3}, 0]$ и убывает на промежутке $[0, \frac{\pi}{3}]$.

в) Исследуем промежуток $(\frac{7\pi}{3}; \frac{17\pi}{6})$.
Упростим границы промежутка, используя периодичность функции ($\text{период } 2\pi$).$2\pi = \frac{12\pi}{6}$.$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$.$\frac{17\pi}{6} = \frac{12\pi + 5\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6}$.Исследование монотонности на $(\frac{7\pi}{3}; \frac{17\pi}{6})$ эквивалентно исследованию на $(\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6})$.Этот промежуток целиком лежит внутри интервала $(0, \pi)$, на котором $\sin x > 0$.Следовательно, производная $y' = -\sin x < 0$ на всем промежутке $(\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6})$.Значит, функция $y = \cos x$ убывает на заданном промежутке.
Ответ: функция убывает на промежутке $(\frac{7\pi}{3}; \frac{17\pi}{6})$.

г) Исследуем промежуток $(\frac{\pi}{6}; \frac{11\pi}{6})$.
Проверим, есть ли внутри этого промежутка точки экстремума $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.При $k=1$ получаем точку $x = \pi$. Так как $\frac{\pi}{6} < \pi < \frac{11\pi}{6}$, точка экстремума (минимума) находится внутри заданного промежутка. Следовательно, функция не является монотонной на всем этом промежутке.Разобьем промежуток на два в точке экстремума: $(\frac{\pi}{6}, \pi]$ и $[\pi, \frac{11\pi}{6})$.1. На промежутке $(\frac{\pi}{6}, \pi)$. Этот промежуток лежит внутри интервала $(0, \pi)$, на котором $\sin x > 0$. Следовательно, $y' = -\sin x < 0$, и функция убывает.2. На промежутке $(\pi, \frac{11\pi}{6})$. Этот промежуток лежит внутри интервала $(\pi, 2\pi)$, на котором $\sin x < 0$. Следовательно, $y' = -\sin x > 0$, и функция возрастает.
Ответ: функция убывает на промежутке $(\frac{\pi}{6}, \pi]$ и возрастает на промежутке $[\pi, \frac{11\pi}{6})$.