Номер 16.50, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.50. Сколько решений имеет система уравнений:

а) $\begin{cases}y = \cos x, \\y = -x^2 + 2x - 3;\end{cases}$

б) $\begin{cases}y = \cos x, \\y = \frac{2}{x};\end{cases}$

в) $\begin{cases}y = \cos x, \\y = x^2 - 3;\end{cases}$

г) $\begin{cases}y = \cos x, \\|x| - y = 0?\end{cases}$

а) Чтобы найти количество решений системы, найдем количество точек пересечения графиков функций $y = \cos x$ и $y = -x^2 + 2x - 3$. Для этого оценим области значений каждой функции.

1. Область значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $E(\cos x) = [-1, 1]$.

2. Функция $y = -x^2 + 2x - 3$ — это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен). Ее наибольшее значение достигается в вершине. Найдем координаты вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$.
$y_0 = -(1)^2 + 2(1) - 3 = -1 + 2 - 3 = -2$.
Следовательно, максимальное значение функции $y = -x^2 + 2x - 3$ равно -2, а ее область значений $E(y) = (-\infty, -2]$.

3. Сравним области значений двух функций: $E(\cos x) = [-1, 1]$ и $E(-x^2+2x-3) = (-\infty, -2]$. Эти множества не пересекаются, так как максимальное значение параболы (-2) меньше минимального значения косинуса (-1).

Поскольку не существует значения $y$, которое могло бы удовлетворять обоим уравнениям одновременно, графики функций не пересекаются.
Ответ: 0 решений.

б) Необходимо найти количество точек пересечения графиков функций $y = \cos x$ и $y = \frac{2}{x}$, что эквивалентно нахождению количества корней уравнения $\cos x = \frac{2}{x}$.

1. Рассмотрим случай $x > 0$. График $y = \frac{2}{x}$ — это гипербола в первой четверти, убывающая от $+\infty$ до 0. График $y = \cos x$ — периодическая функция, колеблющаяся между -1 и 1. Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - \frac{2}{x}$ и найдем количество ее нулей. Для каждого натурального $k \ge 1$, рассмотрим отрезок $[2k\pi, (2k+1)\pi]$.
На левом конце отрезка: $f(2k\pi) = \cos(2k\pi) - \frac{2}{2k\pi} = 1 - \frac{1}{k\pi}$. Так как при $k \ge 1$, $k\pi > 1$, то $f(2k\pi) > 0$.
На правом конце отрезка: $f((2k+1)\pi) = \cos((2k+1)\pi) - \frac{2}{(2k+1)\pi} = -1 - \frac{2}{(2k+1)\pi} < 0$.
Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на каждом таком отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, по теореме о промежуточном значении на каждом интервале $(2k\pi, (2k+1)\pi)$ есть как минимум один корень. Так как таких интервалов бесконечно много, то при $x > 0$ система имеет бесконечное множество решений.

2. Рассмотрим случай $x < 0$. Уравнение остается тем же: $\cos x = \frac{2}{x}$. Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - \frac{2}{x}$ на отрицательной полуоси. Для каждого натурального $k \ge 1$, рассмотрим отрезок $[-2k\pi, -(2k-1)\pi]$.
На левом конце отрезка: $f(-2k\pi) = \cos(-2k\pi) - \frac{2}{-2k\pi} = 1 + \frac{1}{k\pi} > 0$.
На правом конце отрезка: $f(-(2k-1)\pi) = \cos(-(2k-1)\pi) - \frac{2}{-(2k-1)\pi} = -1 + \frac{2}{(2k-1)\pi}$. Так как при $k \ge 1$, $(2k-1)\pi \ge \pi > 2$, то $0 < \frac{2}{(2k-1)\pi} < 1$, и значит $f(-(2k-1)\pi) < 0$.
Аналогично предыдущему случаю, на каждом из бесконечного числа таких интервалов есть как минимум один корень.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: бесконечно много решений.

в) Количество решений системы равно количеству корней уравнения $\cos x = x^2 - 3$.

1. Область значений функции $y = \cos x$ есть $[-1, 1]$. Следовательно, для существования решений должно выполняться условие $-1 \le x^2 - 3 \le 1$.
$2 \le x^2 \le 4$.
Это означает, что решения могут лежать только в объединении отрезков $[-2, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, 2]$.

2. Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - x^2 + 3$. Нам нужно найти количество ее нулей. Эта функция является четной, так как $f(-x) = \cos(-x) - (-x)^2 + 3 = \cos x - x^2 + 3 = f(x)$. Это значит, что ее график симметричен относительно оси OY, и количество положительных корней равно количеству отрицательных.

3. Исследуем функцию на отрезке $[\sqrt{2}, 2]$. $f(\sqrt{2}) = \cos(\sqrt{2}) - (\sqrt{2})^2 + 3 = \cos(\sqrt{2}) + 1$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414 < \frac{\pi}{2}$, то $\cos(\sqrt{2}) > 0$, и $f(\sqrt{2}) > 1$.
$f(2) = \cos(2) - 2^2 + 3 = \cos(2) - 1$. Так как $2 \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$, то $\cos(2) < 0$, и $f(2) < -1$.
Функция непрерывна и меняет знак на отрезке $[\sqrt{2}, 2]$, значит, на интервале $(\sqrt{2}, 2)$ есть как минимум один корень.

4. Найдем производную: $f'(x) = -\sin x - 2x$. Для $x \in [\sqrt{2}, 2]$, $x$ находится в интервале $(0, \pi)$, где $\sin x > 0$. Поэтому $-\sin x < 0$ и $-2x < 0$, следовательно, $f'(x) < 0$ на всем отрезке. Это означает, что функция $f(x)$ строго убывает на $[\sqrt{2}, 2]$, а значит, может пересечь ось абсцисс только один раз.

5. Таким образом, на отрезке $[\sqrt{2}, 2]$ есть ровно одно решение. В силу четности функции, на отрезке $[-2, -\sqrt{2}]$ также есть ровно одно решение.
Ответ: 2 решения.

г) Второе уравнение системы $|x| - y = 0$ можно переписать как $y = |x|$. Задача сводится к нахождению числа решений уравнения $\cos x = |x|$.

1. Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - |x|$. Эта функция является четной, так как $f(-x) = \cos(-x) - |-x| = \cos x - |x| = f(x)$. Следовательно, количество положительных решений равно количеству отрицательных. Заметим, что $x=0$ не является решением, так как $\cos(0) = 1$, а $|0|=0$.

2. Найдем количество положительных решений, то есть корней уравнения $\cos x = x$ для $x>0$. Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то и $x$ должен находиться в этом диапазоне. Учитывая $x>0$, ищем решения на интервале $(0, 1]$.

3. Рассмотрим функцию $g(x) = \cos x - x$ на отрезке $[0, 1]$. $g(0) = \cos(0) - 0 = 1 > 0$.
$g(1) = \cos(1) - 1$. Так как $1$ радиан (около $57.3^\circ$) находится в первой четверти, $0 < \cos(1) < 1$, поэтому $g(1) < 0$.
Функция $g(x)$ непрерывна и меняет знак на отрезке $[0, 1]$, значит, на интервале $(0, 1)$ есть как минимум один корень.

4. Найдем производную: $g'(x) = -\sin x - 1$. Для $x \in (0, 1]$, $\sin x > 0$, поэтому $g'(x) = -\sin x - 1 < 0$. Функция $g(x)$ строго убывает на $[0, 1]$, следовательно, она может пересекать ось $x$ не более одного раза.

5. Из пунктов 3 и 4 следует, что существует ровно одно положительное решение. В силу четности функции $f(x)$, существует также ровно одно отрицательное решение.
Ответ: 2 решения.