Номер 16.55, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

16.55. а) $y = |\sin x|;$

б) $y = \left|\cos x - \frac{1}{2}\right|;$

в) $y = |\cos x|;$

г) $y = \left|\sin x + \frac{1}{2}\right|.$

а) $y = |\sin x|$

Для построения графика функции $y = |\sin x|$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Сначала строим график базовой функции $y = \sin x$. Это известная синусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$ и областью значений $[-1, 1]$.
2. Затем применяем преобразование модуля. По определению, $|f(x)|$ оставляет значения $f(x)$ без изменений, если $f(x) \geq 0$, и меняет их знак на противоположный, если $f(x) < 0$.
- Та часть графика $y = \sin x$, которая находится выше или на оси абсцисс (оси Ox), где $\sin x \geq 0$ (на промежутках $[2\pi n, \pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$), остается на своем месте.
- Та часть графика, которая находится ниже оси Ox, где $\sin x < 0$ (на промежутках $(\pi + 2\pi n, 2\pi(n+1))$, где $n \in \mathbb{Z}$), симметрично отражается относительно оси Ox.
В результате все отрицательные "полуволны" синусоиды становятся положительными. Итоговый график полностью лежит в верхней полуплоскости. Период функции $y = |\sin x|$ равен $\pi$.

Ответ: График функции $y = |\sin x|$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox) той части графика, которая лежит ниже этой оси. Часть графика, лежащая выше или на оси Ox, остается без изменений.

б) $y = |\cos x - \frac{1}{2}|$

Построение этого графика можно разбить на три этапа:
1. Строим график функции $y = \cos x$ (стандартная косинусоида).
2. Строим график промежуточной функции $y_1 = \cos x - \frac{1}{2}$. Он получается из графика $y = \cos x$ путем параллельного переноса на $\frac{1}{2}$ единицы вниз вдоль оси ординат (оси Oy). Теперь функция колеблется в пределах от $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ до $-1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$. График пересекает ось Ox в точках, где $\cos x = \frac{1}{2}$, то есть при $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
3. Строим итоговый график $y = |y_1| = |\cos x - \frac{1}{2}|$.
- Часть графика $y_1 = \cos x - \frac{1}{2}$, которая лежит выше или на оси Ox (где $\cos x \geq \frac{1}{2}$), остается без изменений.
- Часть графика, которая лежит ниже оси Ox (где $\cos x < \frac{1}{2}$), симметрично отражается относительно этой оси.
Максимальное значение функции будет равно $|-\frac{3}{2}| = \frac{3}{2}$, а минимальное — 0.

Ответ: График функции $y = |\cos x - \frac{1}{2}|$ получается из графика $y = \cos x$ смещением на $\frac{1}{2}$ единицы вниз по оси Oy, с последующим симметричным отражением относительно оси Ox той части получившегося графика, которая лежит ниже оси Ox.

в) $y = |\cos x|$

Построение графика функции $y = |\cos x|$ аналогично пункту а):
1. Строим график базовой функции $y = \cos x$. Это косинусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$ и областью значений $[-1, 1]$. Она является смещенной по фазе синусоидой.
2. Применяем преобразование модуля:
- Та часть графика $y = \cos x$, которая находится выше или на оси Ox (где $\cos x \geq 0$ на промежутках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$), остается на своем месте.
- Та часть графика, которая находится ниже оси Ox (где $\cos x < 0$ на промежутках $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$), симметрично отражается относительно оси Ox.
Как и в случае с $|\sin x|$, итоговый график лежит в верхней полуплоскости. Период функции $y = |\cos x|$ также равен $\pi$.

Ответ: График функции $y = |\cos x|$ получается из графика функции $y = \cos x$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси Ox) той части графика, которая лежит ниже этой оси. Часть графика, лежащая выше или на оси Ox, остается без изменений.

г) $y = |\sin x + \frac{1}{2}|$

Построение этого графика выполняется в три этапа:
1. Строим график функции $y = \sin x$.
2. Строим график промежуточной функции $y_1 = \sin x + \frac{1}{2}$. Он получается из графика $y = \sin x$ путем параллельного переноса на $\frac{1}{2}$ единицы вверх вдоль оси Oy. Теперь функция колеблется в пределах от $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ до $-1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$. График пересекает ось Ox в точках, где $\sin x = -\frac{1}{2}$, то есть при $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
3. Строим итоговый график $y = |y_1| = |\sin x + \frac{1}{2}|$.
- Часть графика $y_1 = \sin x + \frac{1}{2}$, которая лежит выше или на оси Ox (где $\sin x \geq -\frac{1}{2}$), остается без изменений.
- Часть графика, которая лежит ниже оси Ox (где $\sin x < -\frac{1}{2}$), симметрично отражается относительно этой оси.
Максимальное значение функции будет равно $\frac{3}{2}$, минимальное — 0. Также появятся локальные максимумы, равные $|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.

Ответ: График функции $y = |\sin x + \frac{1}{2}|$ получается из графика $y = \sin x$ смещением на $\frac{1}{2}$ единицы вверх по оси Oy, с последующим симметричным отражением относительно оси Ox той части получившегося графика, которая лежит ниже оси Ox.