Номер 16.56, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.56. a) $y = \sin |x|$;

б) $y = \sin \left| x - \frac{\pi}{3} \right|$;

В) $y = \cos |x|$;

Г) $y = \cos \left| x + \frac{2\pi}{3} \right|$.

а) $y = \sin|x|$

Это функция вида $y = f(|x|)$, где $f(x) = \sin(x)$. Построение графика такой функции выполняется в несколько шагов:
1. Строится график функции $y = \sin(x)$ для неотрицательных значений аргумента, то есть для $x \ge 0$.
2. Часть графика, находящаяся в области $x < 0$, удаляется.
3. Оставшаяся часть графика (для $x \ge 0$) симметрично отражается относительно оси ординат (оси OY).

Также можно раскрыть модуль:
$y = \sin|x| = \begin{cases} \sin(x), & \text{если } x \ge 0 \\ \sin(-x), & \text{если } x < 0 \end{cases} = \begin{cases} \sin(x), & \text{если } x \ge 0 \\ -\sin(x), & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Свойства функции:

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как синус определен для любого действительного числа.

Область значений: Аргумент функции синуса $|x|$ принимает все значения из промежутка $[0, +\infty)$. На этом промежутке синус принимает все свои возможные значения от -1 до 1. Таким образом, $E(y) = [-1; 1]$.

Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = \sin|-x| = \sin|x| = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY.

Периодичность: Функция не является периодической. Расстояния между последовательными максимумами (или минимумами) не являются постоянной величиной. Например, максимумы достигаются в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ и $x = -(\frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ для $k \ge 0$ (целое). Расстояние между максимумами в точках $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{5\pi}{2}$ равно $2\pi$, а расстояние между максимумами в точках $x = -\frac{3\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$ равно $2\pi$. Однако, расстояние между $x=-\frac{\pi}{2}$ и $x=\frac{\pi}{2}$ (это минимумы) равно $\pi$. Это не так. Максимумы при $x = \pi/2 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ и $x = -(\pi/2 + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$. Минимумы при $x = 3\pi/2 + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ и $x = -(3\pi/2 + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$. Расстояние между соседними точками экстремума не постоянно, следовательно, функция не периодическая.

Ответ: График функции $y = \sin|x|$ получается из графика $y=\sin x$ для $x \ge 0$ путем его отражения относительно оси OY. Функция является четной, непериодической, с областью определения $(-\infty; +\infty)$ и областью значений $[-1, 1]$.

б) $y = \sin\left|x - \frac{\pi}{3}\right|$

Эту функцию можно получить из функции $y = \sin|x|$, рассмотренной в предыдущем пункте, с помощью параллельного переноса. Это функция вида $y = g(x-a)$, где $g(x)=\sin|x|$ и $a = \frac{\pi}{3}$.

Построение графика:

График функции $y = \sin\left|x - \frac{\pi}{3}\right|$ получается путем сдвига графика функции $y = \sin|x|$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо вдоль оси абсцисс (оси OX).
Осью симметрии графика будет прямая $x = \frac{\pi}{3}$.

Раскрывая модуль, получаем:
$y = \sin\left|x - \frac{\pi}{3}\right| = \begin{cases} \sin(x - \frac{\pi}{3}), & \text{если } x \ge \frac{\pi}{3} \\ \sin(-(x - \frac{\pi}{3})), & \text{если } x < \frac{\pi}{3} \end{cases} = \begin{cases} \sin(x - \frac{\pi}{3}), & \text{если } x \ge \frac{\pi}{3} \\ -\sin(x - \frac{\pi}{3}), & \text{если } x < \frac{\pi}{3} \end{cases}$

Свойства функции:

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.

Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее график не симметричен ни относительно оси OY, ни относительно начала координат. Однако он симметричен относительно прямой $x = \frac{\pi}{3}$.

Периодичность: Функция не является периодической.

Ответ: График функции $y = \sin\left|x - \frac{\pi}{3}\right|$ получается сдвигом графика $y = \sin|x|$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо. Функция не является ни четной, ни нечетной, непериодическая, симметрична относительно прямой $x = \frac{\pi}{3}$. Область определения $(-\infty; +\infty)$, область значений $[-1, 1]$.

в) $y = \cos|x|$

Функция косинус является четной функцией, то есть для любого действительного числа $u$ выполняется равенство $\cos(-u) = \cos(u)$.
Рассмотрим два случая для раскрытия модуля в выражении $y = \cos|x|$:
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \cos(x)$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = \cos(-x)$. В силу четности косинуса, $\cos(-x) = \cos(x)$.
Таким образом, для любого действительного $x$ справедливо равенство $\cos|x| = \cos(x)$.

Построение графика:

График функции $y = \cos|x|$ полностью совпадает с графиком функции $y = \cos(x)$.

Свойства функции:

Свойства функции $y = \cos|x|$ полностью совпадают со свойствами функции $y = \cos(x)$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.

Четность: Функция является четной.

Периодичность: Функция является периодической с основным периодом $T = 2\pi$.

Ответ: Функция $y = \cos|x|$ тождественно равна функции $y = \cos(x)$, так как косинус — четная функция. Ее свойства и график совпадают со свойствами и графиком $y = \cos(x)$.

г) $y = \cos\left|x + \frac{2\pi}{3}\right|$

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-u) = \cos(u)$.
Пусть $u = x + \frac{2\pi}{3}$. Тогда исходное уравнение можно записать как $y = \cos|u|$.
Поскольку $\cos|u| = \cos(u)$ для любого действительного $u$, мы можем заключить, что:
$y = \cos\left|x + \frac{2\pi}{3}\right| = \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$.

Построение графика:

График функции $y = \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$ получается из графика функции $y = \cos(x)$ путем параллельного переноса на $\frac{2\pi}{3}$ влево вдоль оси OX.

Свойства функции:

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.

Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной.
$y(-x) = \cos\left(-x + \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(-\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)\right) = \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)$.
Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида.

Периодичность: Функция является периодической с основным периодом $T = 2\pi$, так как является сдвинутой функцией косинуса.

Ответ: Функция $y = \cos\left|x + \frac{2\pi}{3}\right|$ тождественно равна функции $y = \cos\left(x + \frac{2\pi}{3}\right)$. Ее график — это график косинуса, сдвинутый на $\frac{2\pi}{3}$ влево. Функция периодическая с периодом $2\pi$, не является ни четной, ни нечетной.