Номер 16.49, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.49. Сколько решений имеет система уравнений:

а) $\begin{cases} y = \sin x, \\ y = x^2 + 4x - 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \sin x, \\ y = \frac{1}{x}; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = \sin x, \\ y = -3x^2 - 2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = \sin x, \\ |x| - y = 0? \end{cases}$

а) Чтобы найти количество решений системы, найдем количество точек пересечения графиков функций $y = \sin x$ и $y = x^2 + 4x - 1$.
Рассмотрим области значений этих функций.
1. Для функции $y = \sin x$ область значений — отрезок $[-1, 1]$.
2. Функция $y = x^2 + 4x - 1$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем ее вершину:
Координата x вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Координата y вершины: $y_0 = (-2)^2 + 4(-2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5$.
Таким образом, область значений функции $y = x^2 + 4x - 1$ — это промежуток $[-5, \infty)$.
Для существования решения системы необходимо, чтобы значения $y$ принадлежали пересечению областей значений обеих функций, то есть отрезку $[-1, 1]$.
Найдем, при каких значениях $x$ значения функции $y = x^2 + 4x - 1$ лежат в отрезке $[-1, 1]$. Для этого решим двойное неравенство:
$-1 \le x^2 + 4x - 1 \le 1$.
Разобьем его на два неравенства:
1) $x^2 + 4x - 1 \ge -1 \implies x^2 + 4x \ge 0 \implies x(x+4) \ge 0$. Решения: $x \in (-\infty, -4] \cup [0, \infty)$.
2) $x^2 + 4x - 1 \le 1 \implies x^2 + 4x - 2 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 2 = 0$: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}$. Решения неравенства: $x \in [-2-\sqrt{6}, -2+\sqrt{6}]$.
Пересечение решений двух неравенств дает нам два интервала: $x \in [-2-\sqrt{6}, -4] \cup [0, -2+\sqrt{6}]$.
Приблизительные значения: $\sqrt{6} \approx 2.45$. Тогда интервалы: $[-4.45, -4] \cup [0, 0.45]$.
Рассмотрим поведение функций на этих интервалах. Пусть $f(x) = \sin x$ и $g(x) = x^2 + 4x - 1$.
На интервале $[0, -2+\sqrt{6}]$:
В точке $x=0$: $g(0)=-1$, а $f(0)=\sin(0)=0$. Имеем $g(0) < f(0)$.
В точке $x=-2+\sqrt{6}$: $g(-2+\sqrt{6})=1$, а $f(-2+\sqrt{6})=\sin(-2+\sqrt{6}) \approx \sin(0.45) \approx 0.435$. Имеем $g(-2+\sqrt{6}) > f(-2+\sqrt{6})$.
Поскольку обе функции непрерывны, на интервале $(0, -2+\sqrt{6})$ есть как минимум одна точка пересечения. Производная разности функций $h(x)=g(x)-f(x)$ на этом интервале $h'(x) = (2x+4) - \cos x > 0$, так как $2x+4 \in [4, 4.9]$ и $\cos x \in [\cos(0.45), 1]$. Значит, функция $h(x)$ строго возрастает и может пересечь ноль только один раз. Таким образом, на этом интервале есть ровно одно решение.
На интервале $[-2-\sqrt{6}, -4]$:
В точке $x=-4$: $g(-4)=-1$, а $f(-4)=\sin(-4) \approx -0.757$. Имеем $g(-4) < f(-4)$.
В точке $x=-2-\sqrt{6}$: $g(-2-\sqrt{6})=1$, а $f(-2-\sqrt{6})=\sin(-2-\sqrt{6}) \approx \sin(-4.45) \approx -0.977$. Имеем $g(-2-\sqrt{6}) > f(-2-\sqrt{6})$.
Аналогично, на этом интервале есть как минимум одна точка пересечения. Производная разности $h'(x) = (2x+4) - \cos x$ на этом интервале отрицательна, так как $2x+4 \in [-4.9, -4]$, а $\cos x \in [-0.66, -0.21]$. Значит, функция $h(x)$ строго убывает и может пересечь ноль только один раз. Таким образом, на этом интервале есть ровно одно решение.
Всего получаем два решения.
Ответ: 2.

б) Чтобы найти количество решений системы, найдем количество точек пересечения графиков функций $y = \sin x$ и $y = \frac{1}{x}$.
Решения системы — это корни уравнения $\sin x = \frac{1}{x}$.
Так как $|\sin x| \le 1$, то для существования решения необходимо, чтобы $|\frac{1}{x}| \le 1$, что эквивалентно $|x| \ge 1$.
Рассмотрим случай $x > 0$. Решения могут существовать только там, где $\sin x > 0$, то есть на интервалах вида $(2k\pi, (2k+1)\pi)$ для $k=0, 1, 2, ...$.
Для $k=0$, интервал $(0, \pi]$. Мы ищем решения для $x \ge 1$. На интервале $[1, \pi]$, функция $y=\frac{1}{x}$ убывает от $1$ до $\frac{1}{\pi}$, а $y=\sin x$ сначала возрастает от $\sin(1) \approx 0.84$ до $1$ (при $x=\frac{\pi}{2}$), а затем убывает до $0$. Графики обязательно пересекутся дважды на этом отрезке.
Для любого целого $k \ge 1$, на интервале $[2k\pi, (2k+1)\pi]$, функция $y=\sin x$ возрастает от $0$ до $1$ и затем убывает до $0$. Функция $y=\frac{1}{x}$ — положительная, убывающая и принимающая значения, меньшие $1$. На каждом таком интервале графики будут пересекаться дважды. Поскольку таких интервалов бесконечно много, система имеет бесконечно много положительных решений.
Рассмотрим случай $x < 0$. Решения могут существовать только там, где $\sin x < 0$, то есть на интервалах вида $(-(2k)\pi, -(2k-1)\pi)$ для $k=1, 2, 3, ...$.
Аналогично, на каждом таком интервале (например, $(-3\pi, -2\pi)$), функция $y=\sin x$ убывает от $0$ до $-1$ и затем возрастает до $0$. Функция $y=\frac{1}{x}$ — отрицательная, возрастающая и принимающая значения, большие $-1$. На каждом таком интервале графики будут пересекаться дважды. Поскольку таких интервалов бесконечно много, система имеет бесконечно много отрицательных решений.
Следовательно, общее число решений бесконечно.
Ответ: бесконечно много.

в) Чтобы найти количество решений системы, найдем количество точек пересечения графиков функций $y = \sin x$ и $y = -3x^2 - 2$.
Рассмотрим области значений этих функций.
1. Для функции $y = \sin x$ область значений — отрезок $[-1, 1]$.
2. Функция $y = -3x^2 - 2$ — это парабола с ветвями, направленными вниз. Ее вершина находится в точке $x=0$, и максимальное значение функции равно $y(0) = -3(0)^2 - 2 = -2$. Таким образом, область значений этой функции — промежуток $(-\infty, -2]$.
Область значений первой функции $[-1, 1]$, а второй — $(-\infty, -2]$. Эти множества не пересекаются. Это означает, что не существует такого значения $y$, которое могло бы удовлетворять обоим уравнениям одновременно.
Следовательно, графики функций не пересекаются, и система не имеет решений.
Ответ: 0.

г) Из второго уравнения системы $|x| - y = 0$ выразим $y$: $y = |x|$.
Подставим это выражение в первое уравнение: $\sin x = |x|$.
Теперь найдем количество решений этого уравнения, что эквивалентно нахождению числа точек пересечения графиков функций $y = \sin x$ и $y = |x|$.
Так как $|x| \ge 0$, то и $\sin x$ должен быть неотрицательным: $\sin x \ge 0$.
Рассмотрим три случая:
1. Если $x=0$: $\sin 0 = |0|$, то есть $0=0$. Это верное равенство, значит $x=0$ является решением. Соответствующая точка $(0,0)$.
2. Если $x > 0$: уравнение принимает вид $\sin x = x$. Известно, что для всех $x>0$ выполняется неравенство $\sin x < x$. Чтобы это показать, рассмотрим функцию $f(x) = x - \sin x$. Ее производная $f'(x) = 1 - \cos x \ge 0$. Так как $f(0)=0$ и функция неубывающая (и строго возрастающая, кроме точек $x=2k\pi$), то для $x>0$ имеем $f(x) > f(0)$, то есть $x - \sin x > 0$, откуда $x > \sin x$. Следовательно, для $x>0$ решений нет.
3. Если $x < 0$: уравнение принимает вид $\sin x = -x$. Сделаем замену $t = -x$, где $t>0$. Уравнение станет $\sin(-t) = t$, что равносильно $-\sin t = t$, или $\sin t = -t$. Рассмотрим функцию $g(t) = t + \sin t$ для $t>0$. Ее производная $g'(t) = 1 + \cos t \ge 0$. Так как $g(0)=0$ и функция неубывающая (и строго возрастающая, кроме точек $t=k\pi$ с нечетным $k$), то для $t>0$ имеем $g(t) > g(0)$, то есть $t + \sin t > 0$, откуда $\sin t > -t$. Следовательно, для $t>0$ (а значит и для $x<0$) решений нет.
Единственное решение — $x=0$.
Ответ: 1.