Номер 16.51, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.51. Решите графически уравнение:

а) $\sin x = \cos x;$

б) $\sin x + \cos x = 0.$

а) sin x = cos x

Для того чтобы решить уравнение $\sin x = \cos x$ графически, необходимо построить графики функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ в одной системе координат. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

1. Построение графиков:

• График функции $y = \sin x$ — это синусоида, которая проходит через начало координат (0,0), достигает максимума 1 при $x = \frac{\pi}{2}$, снова пересекает ось абсцисс в точке $x = \pi$, достигает минимума -1 при $x = \frac{3\pi}{2}$ и завершает период в точке $x = 2\pi$.
• График функции $y = \cos x$ — это косинусоида. Её можно получить, сдвинув график синуса на $\frac{\pi}{2}$ влево. График проходит через точку (0,1), пересекает ось абсцисс в точке $x = \frac{\pi}{2}$, достигает минимума -1 при $x = \pi$ и т.д.

2. Нахождение точек пересечения:

Наблюдая за графиками, мы ищем точки, в которых они пересекаются. Это происходит, когда значения синуса и косинуса для одного и того же аргумента $x$ совпадают.

• В первой четверти ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) графики пересекаются в точке $x = \frac{\pi}{4}$. В этой точке $\sin(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• В третьей четверти ($\pi \le x \le \frac{3\pi}{2}$) графики пересекаются в точке $x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$. В этой точке $\sin(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Обобщение решения:

Функции $y = \sin x$ и $y = \cos x$ являются периодическими. Можно заметить, что точки пересечения повторяются через каждый интервал длиной $\pi$. Это следует из того, что уравнение $\sin x = \cos x$ эквивалентно уравнению $\tan x = 1$ (при $\cos x \neq 0$), а период тангенса равен $\pi$.

Следовательно, все решения можно записать, взяв одно из решений (например, $x = \frac{\pi}{4}$) и прибавив к нему целое число периодов $\pi$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) sin x + cos x = 0

Сначала преобразуем уравнение к виду, удобному для графического решения: $\sin x = -\cos x$.

Теперь задача сводится к нахождению абсцисс точек пересечения графиков функций $y = \sin x$ и $y = -\cos x$.

1. Построение графиков:

• График функции $y = \sin x$ — стандартная синусоида.
• График функции $y = -\cos x$ — это график функции $y = \cos x$, отраженный симметрично относительно оси абсцисс. Он проходит через точку (0,-1), пересекает ось абсцисс в точках $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$, достигает максимума 1 при $x = \pi$.

2. Нахождение точек пересечения:

Ищем точки, в которых синусоида ($y = \sin x$) пересекается с отраженной косинусоидой ($y = -\cos x$).

• Во второй четверти ($\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$) графики пересекаются в точке $x = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. В этой точке $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\cos(\frac{3\pi}{4}) = -(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• В четвертой четверти ($\frac{3\pi}{2} \le x \le 2\pi$) графики пересекаются в точке $x = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$. В этой точке $\sin(\frac{7\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $-\cos(\frac{7\pi}{4}) = -(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Обобщение решения:

Как и в предыдущем пункте, точки пересечения повторяются периодически. Расстояние между соседними решениями $\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4}$ равно $\pi$. Это связано с тем, что уравнение $\sin x = -\cos x$ равносильно уравнению $\tan x = -1$ (при $\cos x \neq 0$), период которого равен $\pi$.

Таким образом, все множество решений можно получить, прибавляя к одному из них, например $x = -\frac{\pi}{4}$ (что соответствует $x = \frac{7\pi}{4}$ на предыдущем витке), целое число периодов $\pi$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ (эту же серию корней можно записать как $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$).