Номер 16.57, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.57. Постройте и прочитайте график функции:

a) $y = \begin{cases} x^2, \text{ если } x < 0, \\ \sin x, \text{ если } x \ge 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \sin x, \text{ если } x < 0, \\ x^2, \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0 \\ \sin x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.

Построение графика:

Для построения графика функции мы рассматриваем две ее части. На промежутке $(-\infty; 0)$ график совпадает с графиком функции $y=x^2$ (левая ветвь параболы, спускающаяся к началу координат). На промежутке $[0; +\infty)$ график совпадает с графиком функции $y=\sin x$ (синусоида, начинающаяся в начале координат). В точке $x=0$ графики стыкуются, так как предел слева $\lim_{x \to 0^-} x^2 = 0$ и значение функции справа $y(0) = \sin(0) = 0$. Таким образом, функция непрерывна на всей числовой оси.

Свойства функции (чтение графика):

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [-1; +\infty)$. Для $x<0$ значения функции $y=x^2$ принадлежат интервалу $(0; +\infty)$. Для $x \ge 0$ значения функции $y=\sin x$ принадлежат отрезку $[-1; 1]$. Объединение этих множеств дает $[-1; +\infty)$.

3. Нули функции: $y=0$ при $x=k\pi$ для всех целых $k \ge 0$.

4. Промежутки знакопостоянства:

- $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup \bigcup_{k=0}^{\infty} (2k\pi, (2k+1)\pi)$.

- $y < 0$ при $x \in \bigcup_{k=0}^{\infty} ((2k+1)\pi, (2k+2)\pi)$.

5. Промежутки монотонности:

- Функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и на отрезках вида $[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi]$ для целых $k \ge 0$.

- Функция возрастает на отрезках вида $[2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi]$ для целых $k \ge 0$.

6. Экстремумы:

- Точки локального максимума: $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $y_{max}=1$, для целых $k \ge 0$.

- Точки локального минимума: $x = 0$, где $y_{min}=0$, и $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, где $y_{min}=-1$, для целых $k \ge 0$.

7. Глобальные экстремумы: Наибольшего значения функция не имеет. Наименьшее значение $y_{min} = -1$.

8. Четность, нечетность: Функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной), так как ее область определения симметрична относительно нуля, но $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$.

9. Периодичность: Функция непериодическая из-за наличия участка параболы.

10. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения.

Ответ:

Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x < 0 \\ x^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$.

Построение графика:

Для построения графика функции мы рассматриваем две ее части. На промежутке $(-\infty; 0)$ график совпадает с графиком функции $y=\sin x$ (синусоида, расположенная слева от оси Oy). На промежутке $[0; +\infty)$ график совпадает с графиком функции $y=x^2$ (правая ветвь параболы, выходящая из начала координат). В точке $x=0$ графики стыкуются, так как предел слева $\lim_{x \to 0^-} \sin x = 0$ и значение функции справа $y(0) = 0^2 = 0$. Таким образом, функция непрерывна на всей числовой оси.

Свойства функции (чтение графика):

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [-1; +\infty)$. Для $x<0$ значения функции $y=\sin x$ принадлежат отрезку $[-1; 1]$. Для $x \ge 0$ значения функции $y=x^2$ принадлежат промежутку $[0; +\infty)$. Объединение этих множеств дает $[-1; +\infty)$.

3. Нули функции: $y=0$ при $x=k\pi$ для всех целых $k \le 0$.

4. Промежутки знакопостоянства:

- $y > 0$ при $x \in (0; +\infty) \cup \bigcup_{k=1}^{\infty} (-2k\pi, -(2k-1)\pi)$.

- $y < 0$ при $x \in \bigcup_{k=0}^{\infty} (-(2k+1)\pi, -2k\pi)$.

5. Промежутки монотонности:

- Функция возрастает на промежутке $[-\frac{\pi}{2}, +\infty)$ и на отрезках вида $[-\frac{5\pi}{2}-2k\pi, -\frac{3\pi}{2}-2k\pi]$ для целых $k \ge 0$.

- Функция убывает на интервалах вида $(-\frac{3\pi}{2}-2k\pi, -\frac{\pi}{2}-2k\pi)$ для целых $k \ge 0$.

6. Экстремумы:

- Точки локального максимума: $x = -\frac{3\pi}{2} - 2k\pi$, где $y_{max}=1$, для целых $k \ge 0$.

- Точки локального минимума: $x = -\frac{\pi}{2} - 2k\pi$, где $y_{min}=-1$, для целых $k \ge 0$.

7. Глобальные экстремумы: Наибольшего значения функция не имеет. Наименьшее значение $y_{min} = -1$.

8. Четность, нечетность: Функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

9. Периодичность: Функция непериодическая.

10. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: