Номер 16.61, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.61. a) $y = \begin{cases} \text{cos } x, \text{ если } x \le \frac{\pi}{2}; \\ \text{sin } x, \text{ если } x > \frac{\pi}{2}; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \text{-cos } x, \text{ если } x < 0, \\ 2x^2 - 1, \text{ если } x \ge 0. \end{cases}$

а) $y = \begin{cases} \cos x, & \text{если } x \le \frac{\pi}{2} \\ \sin x, & \text{если } x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$

Данная функция является кусочно-заданной. На каждом из интервалов $(-\infty, \frac{\pi}{2}]$ и $(\frac{\pi}{2}, +\infty)$ функция непрерывна, так как она задана элементарными функциями $y = \cos x$ и $y = \sin x$, которые непрерывны на всей своей области определения.

Чтобы исследовать функцию на непрерывность на всей числовой прямой, необходимо проверить ее поведение в точке "стыка" $x_0 = \frac{\pi}{2}$.

Функция является непрерывной в точке $x_0$, если предел функции в этой точке существует и равен значению функции в этой точке, то есть $\lim_{x \to x_0} y(x) = y(x_0)$. Это условие, в свою очередь, требует, чтобы левосторонний и правосторонний пределы были равны значению функции в точке: $\lim_{x \to x_0^-} y(x) = \lim_{x \to x_0^+} y(x) = y(x_0)$.

Проверим эти условия для точки $x = \frac{\pi}{2}$.

1. Найдем значение функции в точке $x = \frac{\pi}{2}$. Согласно определению, при $x \le \frac{\pi}{2}$ используется формула $y = \cos x$.
$y(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

2. Найдем левосторонний предел (при $x \to \frac{\pi}{2}^-$, т.е. $x < \frac{\pi}{2}$). Используем ту же формулу $y = \cos x$:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} y(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \cos x = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

3. Найдем правосторонний предел (при $x \to \frac{\pi}{2}^+$, т.е. $x > \frac{\pi}{2}$). Используем формулу $y = \sin x$:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} y(x) = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \sin x = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Так как левосторонний предел ($0$) не равен правостороннему пределу ($1$), то предел функции в точке $x = \frac{\pi}{2}$ не существует. Следовательно, условие непрерывности не выполняется.

Ответ: функция имеет разрыв в точке $x = \frac{\pi}{2}$.

б) $y = \begin{cases} -\cos x, & \text{если } x < 0 \\ 2x^2 - 1, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Эта функция также является кусочно-заданной. На интервалах $(-\infty, 0)$ и $[0, +\infty)$ она непрерывна, так как задана непрерывными элементарными функциями $y = -\cos x$ (тригонометрическая) и $y = 2x^2 - 1$ (полином).

Исследуем на непрерывность точку "стыка" $x_0 = 0$.

1. Найдем значение функции в точке $x = 0$. Согласно определению, при $x \ge 0$ используется формула $y = 2x^2 - 1$.
$y(0) = 2(0)^2 - 1 = -1$.

2. Найдем левосторонний предел (при $x \to 0^-$, т.е. $x < 0$). Используем формулу $y = -\cos x$:
$\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} (-\cos x) = -\cos(0) = -1$.

3. Найдем правосторонний предел (при $x \to 0^+$, т.е. $x > 0$). Используем формулу $y = 2x^2 - 1$:
$\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} (2x^2 - 1) = 2(0)^2 - 1 = -1$.

Сравним полученные значения: $y(0) = -1$
$\lim_{x \to 0^-} y(x) = -1$
$\lim_{x \to 0^+} y(x) = -1$

Так как левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке $x = 0$ равны между собой: $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^+} y(x) = y(0) = -1$, то функция непрерывна в точке $x = 0$.

Поскольку функция непрерывна на каждом из интервалов и в точке их соединения, она непрерывна на всей числовой прямой.

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой.