Номер 16.68, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.68. a) $y = \sin (\sin x)$;

б) $y = \sin (\cos x)$;

В) $y = \cos (\cos x)$;

Г) $y = \cos (\sin x)$.

а) $y = \sin(\sin x)$;

Чтобы найти область значений данной функции, необходимо определить, какие значения может принимать $y$. Данная функция является сложной, вида $y = f(g(x))$, где $f(u) = \sin u$ и $g(x) = \sin x$.

1. Сначала найдём область значений внутренней функции $u = \sin x$. Областью значений синуса является отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, $u$ может принимать любые значения в диапазоне $-1 \le u \le 1$.

2. Теперь найдём область значений внешней функции $y = \sin u$ при условии, что её аргумент $u$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Функция $y = \sin u$ является возрастающей на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Поскольку $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ и $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, отрезок $[-1, 1]$ полностью содержится в этом промежутке возрастания.

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке $[-1, 1]$ достигается при $u=-1$, а наибольшее — при $u=1$.

Наименьшее значение: $y_{\text{мин}} = \sin(-1) = -\sin(1)$.

Наибольшее значение: $y_{\text{макс}} = \sin(1)$.

Таким образом, область значений функции $y = \sin(\sin x)$ — это отрезок $[-\sin(1), \sin(1)]$.

Ответ: $[-\sin(1), \sin(1)]$

б) $y = \sin(\cos x)$;

Эта функция также является сложной. Пусть внутренняя функция будет $u = \cos x$.

1. Область значений функции $u = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Значит, $-1 \le u \le 1$.

2. Теперь необходимо найти область значений внешней функции $y = \sin u$ для аргумента $u \in [-1, 1]$.

Эта задача полностью аналогична предыдущему пункту. Функция $y = \sin u$ возрастает на отрезке $[-1, 1]$.

Наименьшее значение на этом отрезке равно $\sin(-1) = -\sin(1)$.

Наибольшее значение на этом отрезке равно $\sin(1)$.

Следовательно, область значений функции $y = \sin(\cos x)$ также является отрезком $[-\sin(1), \sin(1)]$.

Ответ: $[-\sin(1), \sin(1)]$

в) $y = \cos(\cos x)$;

Рассмотрим эту сложную функцию. Пусть $u = \cos x$.

1. Область значений внутренней функции $u = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

2. Теперь найдём область значений внешней функции $y = \cos u$ при $u \in [-1, 1]$.

Функция $y = \cos u$ является чётной, то есть $\cos(-u) = \cos(u)$. На отрезке $[0, \pi]$ функция $\cos u$ убывает. Наш отрезок $u \in [-1, 1]$ симметричен относительно точки $u=0$.

Наибольшее значение функции $y = \cos u$ на отрезке $[-1, 1]$ достигается в точке максимума $u=0$.$y_{\text{макс}} = \cos(0) = 1$.

Наименьшее значение будет достигаться на концах отрезка, то есть в точках $u=-1$ и $u=1$. Так как функция чётная, $\cos(-1) = \cos(1)$. Поскольку $1$ радиан находится в первой четверти ($0 < 1 < \pi/2$), $\cos(1)$ — положительное число, меньшее 1.$y_{\text{мин}} = \cos(1)$.

Таким образом, область значений функции $y = \cos(\cos x)$ — это отрезок $[\cos(1), 1]$.

Ответ: $[\cos(1), 1]$

г) $y = \cos(\sin x)$.

Это также сложная функция. Пусть внутренняя функция $u = \sin x$.

1. Область значений функции $u = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

2. Теперь найдём область значений внешней функции $y = \cos u$ при $u \in [-1, 1]$.

Эта задача аналогична пункту в). Мы ищем множество значений функции $y = \cos u$ на отрезке $[-1, 1]$.

Наибольшее значение функции $\cos u$ на этом отрезке равно $\cos(0) = 1$.

Наименьшее значение достигается на концах отрезка $u = -1$ и $u = 1$ и равно $\cos(-1) = \cos(1)$.

Следовательно, область значений функции $y = \cos(\sin x)$ — это отрезок $[\cos(1), 1]$.

Ответ: $[\cos(1), 1]$