Номер 17.3, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

17.3. а) $y = 2 \sin x;$

б) $y = 3 \cos x;$

В) $y = -\sin x;$

Г) $y = -\cos x.$

а) Для нахождения множества значений функции $y = 2 \sin x$ воспользуемся известным свойством функции синус. Множество значений (или область значений) функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного значения $x$ выполняется двойное неравенство:

$-1 \le \sin x \le 1$

Чтобы получить множество значений для функции $y = 2 \sin x$, необходимо умножить все части этого неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$2 \cdot (-1) \le 2 \cdot \sin x \le 2 \cdot 1$

$-2 \le 2 \sin x \le 2$

Следовательно, множество значений функции $y = 2 \sin x$ — это отрезок $[-2, 2]$.

Ответ: $[-2, 2]$.

б) Для нахождения множества значений функции $y = 3 \cos x$ используем свойство функции косинус. Множество значений функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Это значит, что для любого действительного $x$ верно неравенство:

$-1 \le \cos x \le 1$

Умножим все части этого неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства не изменятся:

$3 \cdot (-1) \le 3 \cdot \cos x \le 3 \cdot 1$

$-3 \le 3 \cos x \le 3$

Таким образом, множество значений функции $y = 3 \cos x$ — это отрезок $[-3, 3]$.

Ответ: $[-3, 3]$.

в) Рассмотрим функцию $y = -\sin x$. Как и в предыдущих случаях, начнем с множества значений функции $y = \sin x$, которое является отрезком $[-1, 1]$:

$-1 \le \sin x \le 1$

Теперь умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-1) \ge (-1) \cdot \sin x \ge (-1) \cdot 1$

$1 \ge -\sin x \ge -1$

Запишем это неравенство в привычном виде, поменяв местами левую и правую части:

$-1 \le -\sin x \le 1$

Следовательно, множество значений функции $y = -\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $[-1, 1]$.

г) Рассмотрим функцию $y = -\cos x$. Множество значений функции $y = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$:

$-1 \le \cos x \le 1$

Умножим все части этого неравенства на -1. При этом знаки неравенства изменятся на противоположные:

$(-1) \cdot (-1) \ge (-1) \cdot \cos x \ge (-1) \cdot 1$

$1 \ge -\cos x \ge -1$

Перепишем неравенство в стандартном порядке:

$-1 \le -\cos x \le 1$

Таким образом, множество значений функции $y = -\cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Ответ: $[-1, 1]$.