Номер 17.1, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

17.1. a) $y = 3\sqrt{x}$;

В) $y = \frac{1}{3}x^4$;

б) $y = -2|x|$;

Г) $y = -\frac{2}{x^2}$.

а) Для построения графика функции $y = 3\sqrt{x}$ в качестве основы используется график функции $y = \sqrt{x}$. График базовой функции представляет собой ветвь параболы, начинающуюся в точке (0, 0) и проходящую через точки (1, 1) и (4, 2). График функции $y = 3\sqrt{x}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем его растяжения от оси Ox вдоль оси Oy в 3 раза. Это означает, что для каждой точки на графике $y = \sqrt{x}$ ее ордината (координата y) умножается на 3.
1. Область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$, так как выражение под корнем не может быть отрицательным.
2. Область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$, так как $\sqrt{x} \ge 0$ и множитель 3 положителен.
3. Для построения найдем координаты нескольких ключевых точек:

• при $x = 0$, $y = 3\sqrt{0} = 0$; точка (0, 0).
• при $x = 1$, $y = 3\sqrt{1} = 3$; точка (1, 3).
• при $x = 4$, $y = 3\sqrt{4} = 3 \cdot 2 = 6$; точка (4, 6).

Соединив эти точки плавной кривой, мы получим искомый график.
Ответ: График функции — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти. Он получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем растяжения в 3 раза вдоль оси Oy.

б) График функции $y = -2|x|$ строится на основе графика $y = |x|$. График $y = |x|$ состоит из двух лучей, выходящих из начала координат: биссектрисы первого ($y=x$ при $x \ge 0$) и второго ($y=-x$ при $x < 0$) координатных углов. Для получения графика $y = -2|x|$ нужно выполнить последовательно два преобразования:
1. Растяжение графика $y = |x|$ от оси Ox вдоль оси Oy в 2 раза. Получим график функции $y = 2|x|$.
2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси Ox. Получим искомый график $y = -2|x|$.
Также можно построить график, раскрыв модуль: $y = \begin{cases} -2x, & \text{если } x \ge 0 \\ -2(-x), & \text{если } x < 0 \end{cases}$, что равносильно $y = \begin{cases} -2x, & \text{если } x \ge 0 \\ 2x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.
Таким образом, график состоит из двух лучей, исходящих из точки (0, 0). Один луч — часть прямой $y=-2x$ для $x \ge 0$, другой — часть прямой $y=2x$ для $x < 0$. Возьмем по одной контрольной точке на каждом луче: (1, -2) и (-1, -2).
Ответ: График функции представляет собой два луча, выходящие из начала координат, симметричные относительно оси Oy и расположенные в III и IV координатных четвертях.

в) Функция $y = \frac{1}{3}x^4$ является степенной. Ее график можно построить, преобразовав график функции $y = x^4$. График $y = x^4$ напоминает параболу $y=x^2$, но он более плоский около нуля и растет быстрее при $|x| > 1$. График функции $y = \frac{1}{3}x^4$ получается из графика $y = x^4$ путем сжатия к оси Ox (вдоль оси Oy) в 3 раза.
1. Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.
2. Функция является четной, поскольку $y(-x) = \frac{1}{3}(-x)^4 = \frac{1}{3}x^4 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.
3. Область значений: $y \ge 0$, так как $x^4 \ge 0$.
4. Найдем несколько точек для построения:

• при $x = 0$, $y = 0$; точка (0, 0) — вершина.
• при $x = 1$, $y = 1/3$; точка (1, 1/3).
• при $x = -1$, $y = 1/3$; точка (-1, 1/3).
• при $x = 2$, $y = \frac{1}{3} \cdot 16 = \frac{16}{3}$; точка (2, 16/3).
• при $x = -2$, $y = 16/3$; точка (-2, 16/3).

Соединяем точки плавной кривой.
Ответ: График — это U-образная кривая, симметричная относительно оси Oy, с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.

г) Для построения графика функции $y = -\frac{2}{x^2}$ используется график функции $y = \frac{1}{x^2}$. График $y = \frac{1}{x^2}$ имеет две ветви в I и II четвертях, симметричные относительно оси Oy, с асимптотами $x=0$ и $y=0$. График $y = -\frac{2}{x^2}$ получается из графика $y = \frac{1}{x^2}$ следующими преобразованиями:
1. Растяжение от оси Ox вдоль оси Oy в 2 раза, что дает $y = \frac{2}{x^2}$.
2. Симметричное отражение относительно оси Ox, что дает искомый график $y = -\frac{2}{x^2}$.
Основные свойства функции:
1. Область определения: $x \ne 0$, т.е. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Прямая $x=0$ (ось Oy) — вертикальная асимптота.
2. Функция четная, так как $y(-x) = -\frac{2}{(-x)^2} = -\frac{2}{x^2} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
3. Область значений: $E(y) = (-\infty; 0)$. Прямая $y=0$ (ось Ox) — горизонтальная асимптота.
4. Контрольные точки:

• при $x=1, y=-2$; точка (1, -2).
• при $x=-1, y=-2$; точка (-1, -2).
• при $x=2, y=-2/4 = -0.5$; точка (2, -0.5).
• при $x=-2, y=-0.5$; точка (-2, -0.5).

При приближении $x$ к нулю с любой стороны, $y$ стремится к $-\infty$.
Ответ: График состоит из двух ветвей, расположенных в III и IV координатных четвертях, симметричных относительно оси Oy. Оси координат являются асимптотами графика.