Номер 16.66, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.66. Дана функция $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} \sin \left(x + \frac{\pi}{2}\right), & \text{если } -\frac{3\pi}{2} \le x \le 0, \\ x + 1, & \text{если } 0 < x < 2, \\ -\sqrt{x - 2} + 3, & \text{если } x \ge 2. \end{cases}$

а) Вычислите: $f(0)$, $f(6)$, $f(-\pi - 2)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции $y = f(x)$.

а) Вычислите: f(0), f(6), f(-? - 2);

Для вычисления значений функции в заданных точках необходимо определить, какому из трех интервалов области определения принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу.

Вычисление $f(0)$:
Аргумент $x=0$ принадлежит первому интервалу $- \frac{3\pi}{2} \le x \le 0$. Следовательно, используем формулу $f(x) = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. По формуле приведения, $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(x)$. Подставляем $x=0$:
$f(0) = \cos(0) = 1$.

Вычисление $f(6)$:
Аргумент $x=6$ принадлежит третьему интервалу $x \ge 2$. Следовательно, используем формулу $f(x) = -\sqrt{x-2} + 3$. Подставляем $x=6$:
$f(6) = -\sqrt{6-2} + 3 = -\sqrt{4} + 3 = -2 + 3 = 1$.

Вычисление $f(-\pi - 2)$:
Область определения функции $D(f) = \left[-\frac{3\pi}{2}, +\infty\right)$. Необходимо проверить, принадлежит ли значение $x = -\pi - 2$ этой области, то есть выполняется ли неравенство $-\pi - 2 \ge -\frac{3\pi}{2}$.
Сравним $-\pi - 2$ и $-\frac{3\pi}{2}$.
$\frac{3\pi}{2} - \pi - 2 \ge 0$
$\frac{\pi}{2} - 2 \ge 0$
$\pi \ge 4$
Так как $\pi \approx 3.14159$, неравенство $\pi \ge 4$ является ложным. Следовательно, точка $x = -\pi - 2$ не входит в область определения функции, и значение $f(-\pi - 2)$ не определено.

Ответ: $f(0)=1$, $f(6)=1$, значение $f(-\pi - 2)$ не определено.

б) постройте график функции y = f(x);

Для построения графика разобьем задачу на три части в соответствии с определением функции.
1. На промежутке $\left[-\frac{3\pi}{2}, 0\right]$ строим график функции $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos(x)$. Это часть косинусоиды. Ключевые точки: $(-3\pi/2, 0)$, $(-\pi, -1)$, $(-\pi/2, 0)$, $(0, 1)$.
2. На промежутке $(0, 2)$ строим график функции $y = x+1$. Это отрезок прямой линии, соединяющий точки $(0, 1)$ и $(2, 3)$.
3. На промежутке $[2, +\infty)$ строим график функции $y = -\sqrt{x-2} + 3$. Это ветвь параболы с вершиной в точке $(2, 3)$, проходящая через точки $(3, 2)$, $(6, 1)$ и $(11, 0)$.
Все части графика соединяются в точках $x=0$ и $x=2$, образуя непрерывную линию.

Ответ: График функции представлен выше.

в) прочитайте график функции y = f(x).

На основе построенного графика и анализа формул перечислим основные свойства функции $y=f(x)$:
1. Область определения: $D(f) = \left[-\frac{3\pi}{2}, +\infty\right)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty, 3]$.
3. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $x = -\frac{3\pi}{2}$, $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = 11$.
5. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 1)$.
6. Промежутки знакопостоянства:
$f(x) > 0$ при $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, 11\right)$;
$f(x) < 0$ при $x \in \left(-\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}\right) \cup (11, +\infty)$.
7. Промежутки монотонности:
Функция возрастает на промежутке $[-\pi, 2]$;
Функция убывает на промежутках $\left[-\frac{3\pi}{2}, -\pi\right]$ и $[2, +\infty)$.
8. Экстремумы функции:
Точка локального минимума: $x_{min} = -\pi$, $y_{min} = f(-\pi) = -1$;
Точка локального максимума: $x_{max} = 2$, $y_{max} = f(2) = 3$.
9. Глобальные экстремумы:
Глобальный максимум: $y_{max} = 3$ достигается в точке $x=2$;
Глобальный минимум отсутствует (функция не ограничена снизу).
10. Четность, нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения не симметрична относительно нуля.
11. Периодичность: Функция не является периодической.

Ответ: Свойства функции перечислены выше.