Номер 16.59, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.59. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0, \\ \sin x, & \text{если } 0 \le x \le \pi. \end{cases}$

a) Вычислите: $f(-2), f(0), f(1)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции $y = f(x)$.

Постройте и прочитайте график функции:

а)

Для вычисления значений функции $f(x)$ в заданных точках необходимо определить, какому интервалу принадлежит аргумент $x$ в соответствии с определением кусочно-заданной функции.

1. Чтобы найти $f(-2)$, мы видим, что аргумент $x = -2$ удовлетворяет условию $x < 0$. Следовательно, мы используем первую формулу: $f(x) = \frac{1}{x}$.
$f(-2) = \frac{1}{-2} = -0.5$.

2. Чтобы найти $f(0)$, мы видим, что аргумент $x = 0$ удовлетворяет условию $0 \le x \le \pi$. Следовательно, мы используем вторую формулу: $f(x) = \sin x$.
$f(0) = \sin 0 = 0$.

3. Чтобы найти $f(1)$, мы видим, что аргумент $x = 1$ удовлетворяет условию $0 \le x \le \pi$ (поскольку $\pi \approx 3.14159$). Следовательно, мы также используем вторую формулу: $f(x) = \sin x$.
$f(1) = \sin 1$. (Это значение синуса от 1 радиана, приблизительно равное 0.84).

Ответ: $f(-2) = -0.5$; $f(0) = 0$; $f(1) = \sin 1$.

б)

Для построения графика функции $y = f(x)$ мы строим две его части на разных участках оси $x$.

1. На интервале $(-\infty, 0)$ график совпадает с графиком функции $y = \frac{1}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в III координатной четверти. Она имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ и вертикальную асимптоту $x=0$.

2. На отрезке $[0, \pi]$ график совпадает с графиком функции $y = \sin x$. Это "арка" синусоиды, которая начинается в точке $(0, 0)$, достигает максимума в точке $(\frac{\pi}{2}, 1)$ и заканчивается в точке $(\pi, 0)$. Обе конечные точки отрезка, $(0, 0)$ и $(\pi, 0)$, принадлежат графику.

Итоговый график функции:

Ответ: График функции построен и представлен на рисунке выше.

в)

Прочитаем график, то есть перечислим основные свойства функции $y = f(x)$:

1. Область определения функции ($D(f)$): множество всех допустимых значений $x$.
$D(f) = (-\infty; \pi]$.

2. Область значений функции ($E(f)$): множество всех значений, которые принимает $y$.
$E(f) = (-\infty; 1]$.

3. Нули функции ($f(x) = 0$):
$x=0$, $x=\pi$.

4. Промежутки знакопостоянства:
Функция положительна ($f(x) > 0$) при $x \in (0; \pi)$.
Функция отрицательна ($f(x) < 0$) при $x \in (-\infty; 0)$.

5. Промежутки монотонности:
Функция возрастает на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$.
Функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $[\frac{\pi}{2}; \pi]$.

6. Экстремумы функции:
Точка максимума $x_{max} = \frac{\pi}{2}$.
Максимум функции $y_{max} = f(\frac{\pi}{2}) = 1$.
Функция не ограничена снизу, поэтому глобального минимума не существует.

7. Четность/нечетность:
Область определения $D(f) = (-\infty; \pi]$ несимметрична относительно начала координат, поэтому функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

8. Непрерывность:
Функция непрерывна на промежутках $(-\infty; 0)$ и $[0; \pi]$. В точке $x=0$ функция терпит разрыв второго рода, так как левый предел равен бесконечности: $\lim_{x\to 0-} f(x) = -\infty$.

Ответ: Свойства функции, полученные при чтении графика, перечислены выше.