Номер 16.60, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.60. a) $y = \begin{cases} x + 2, & \text{если } x < 0, \\ \cos x, & \text{если } x \ge 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -\frac{2}{x}, & \text{если } x < 0, \\ -\cos x, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

а) Дана кусочно-заданная функция: $y = f(x) = \begin{cases} x + 2, & \text{если } x < 0 \\ \cos x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Исследуем функцию на непрерывность. На интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$ функция непрерывна, так как на первом она задана линейной функцией $y=x+2$, а на втором — функцией $y=\cos x$, которые обе непрерывны на всей числовой прямой. Единственная точка, в которой непрерывность может нарушаться, — это точка $x=0$, где меняется аналитическое выражение функции.

Для того чтобы функция была непрерывна в точке $x=0$, необходимо, чтобы левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в этой точке были равны: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.

Найдем эти три значения:

1. Значение функции в точке $x=0$: при $x \ge 0$ функция равна $f(x) = \cos x$. Следовательно, $f(0) = \cos(0) = 1$.

2. Левосторонний предел (при $x \to 0^-$): в этом случае $x < 0$, и функция равна $f(x) = x+2$.
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x+2) = 0 + 2 = 2$.

3. Правосторонний предел (при $x \to 0^+$): в этом случае $x > 0$, и функция равна $f(x) = \cos x$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (\cos x) = \cos(0) = 1$.

Сравнивая полученные значения, видим, что левосторонний предел не равен правостороннему пределу: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 2 \neq \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$.

Поскольку односторонние пределы не равны, общий предел функции в точке $x=0$ не существует. Следовательно, функция терпит разрыв в точке $x=0$. Так как оба односторонних предела существуют и конечны, этот разрыв является разрывом первого рода (скачком). Величина скачка равна $|2-1|=1$.

Ответ: Функция непрерывна для всех $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

б) Дана кусочно-заданная функция: $y = f(x) = \begin{cases} \frac{2}{x}, & \text{если } x < 0 \\ -\cos x, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Исследуем функцию на непрерывность. На интервале $(-\infty, 0)$ функция $y=\frac{2}{x}$ непрерывна, так как $x \neq 0$. На интервале $(0, \infty)$ функция $y=-\cos x$ непрерывна. Проверим непрерывность в точке "стыка" $x=0$.

Для непрерывности в точке $x=0$ должно выполняться условие: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$.

Найдем эти значения:

1. Значение функции в точке $x=0$: при $x \ge 0$ функция равна $f(x) = -\cos x$. Следовательно, $f(0) = -\cos(0) = -1$.

2. Левосторонний предел (при $x \to 0^-$): в этом случае $x < 0$, и функция равна $f(x) = \frac{2}{x}$.
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{2}{x} = -\infty$.

3. Правосторонний предел (при $x \to 0^+$): в этом случае $x > 0$, и функция равна $f(x) = -\cos x$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (-\cos x) = -\cos(0) = -1$.

Так как левосторонний предел в точке $x=0$ равен бесконечности (т.е. не является конечным числом), функция терпит разрыв в этой точке.

Поскольку один из односторонних пределов бесконечен, этот разрыв является разрывом второго рода (бесконечным разрывом).

Ответ: Функция непрерывна для всех $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв второго рода.