Номер 16.53, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

16.53. a) $\cos x \ge 1 + |x|$;

б) $\sin x \le - \left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 - 1$.

a) Рассмотрим неравенство $ \cos x \ge 1 + |x| $. Для решения этого неравенства воспользуемся методом оценки левой и правой частей.
1. Левая часть: $ \cos x $. Область значений функции косинуса — это отрезок $ [-1, 1] $. Следовательно, для любого действительного числа $ x $ справедливо неравенство $ \cos x \le 1 $.
2. Правая часть: $ 1 + |x| $. Модуль любого числа является неотрицательной величиной, то есть $ |x| \ge 0 $. Следовательно, для любого действительного числа $ x $ справедливо неравенство $ 1 + |x| \ge 1 $.
Сопоставим полученные оценки. Исходное неравенство $ \cos x \ge 1 + |x| $ может иметь решение только в том случае, если существует такое значение $ x $, для которого $ 1 \ge \cos x \ge 1 + |x| \ge 1 $. Это возможно, только если все части этого двойного неравенства равны 1. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе уравнений:
$ \begin{cases} \cos x = 1 \\ 1 + |x| = 1 \end{cases} $
Решим второе уравнение системы: $ 1 + |x| = 1 $, что равносильно $ |x| = 0 $, откуда получаем $ x = 0 $.
Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $ x=0 $ первому уравнению системы: $ \cos(0) = 1 $. Уравнение выполняется.
Следовательно, $ x=0 $ — единственное решение системы, а значит, и исходного неравенства.
Ответ: $ 0 $.

б) Рассмотрим неравенство $ \sin x \le -\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 - 1 $. Для решения этого неравенства также воспользуемся методом оценки.
1. Левая часть: $ \sin x $. Область значений функции синуса — это отрезок $ [-1, 1] $. Следовательно, для любого действительного числа $ x $ справедливо неравенство $ \sin x \ge -1 $.
2. Правая часть: $ -\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 - 1 $. Выражение $ \left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 $, как квадрат действительного числа, всегда неотрицательно: $ \left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 \ge 0 $. Умножение на -1 меняет знак неравенства: $ -\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 \le 0 $. Вычитая 1 из обеих частей, получаем: $ -\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 - 1 \le -1 $.
Сопоставим полученные оценки. Исходное неравенство $ \sin x \le -\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 - 1 $ может иметь решение только в том случае, если существует такое значение $ x $, для которого $ -1 \le \sin x \le -\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 - 1 \le -1 $. Это возможно, только если все части этого двойного неравенства равны -1. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе уравнений:
$ \begin{cases} \sin x = -1 \\ -\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 - 1 = -1 \end{cases} $
Решим второе уравнение системы: $ -\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 - 1 = -1 $, что равносильно $ -\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)^2 = 0 $, откуда $ x - \frac{3\pi}{2} = 0 $, то есть $ x = \frac{3\pi}{2} $.
Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $ x = \frac{3\pi}{2} $ первому уравнению системы: $ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $. Уравнение выполняется.
Следовательно, $ x = \frac{3\pi}{2} $ — единственное решение системы, а значит, и исходного неравенства.
Ответ: $ \frac{3\pi}{2} $.