Номер 16.52, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.52. Решите уравнение:

a) $\sin x = \left| \frac{3x}{2\pi} - \frac{3}{4} \right|$;

б) $\cos x + \left| \frac{3x}{5\pi} - \frac{3}{10} \right| = 0, x \ge 0.$

Рассмотрим уравнение $\sin x = \left|\frac{3x}{2\pi} - \frac{3}{4}\right|$.

Поскольку функция $\sin x$ принимает значения в диапазоне от -1 до 1, а модуль в правой части уравнения всегда неотрицателен, для существования решений должны выполняться два условия:

1. $\sin x \ge 0$. Это справедливо для $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Правая часть уравнения не должна превышать 1: $\left|\frac{3x}{2\pi} - \frac{3}{4}\right| \le 1$.
Это двойное неравенство: $-1 \le \frac{3x}{2\pi} - \frac{3}{4} \le 1$.
Прибавим $\frac{3}{4}$ ко всем частям: $-\frac{1}{4} \le \frac{3x}{2\pi} \le \frac{7}{4}$.
Умножим все части на $\frac{2\pi}{3}$: $-\frac{1}{4} \cdot \frac{2\pi}{3} \le x \le \frac{7}{4} \cdot \frac{2\pi}{3}$.
$-\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{7\pi}{6}$.

Пересекая область допустимых значений $x$ из обоих условий, получаем, что решения могут находиться только в интервале $[0, \pi]$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая. Точка, в которой выражение под модулем меняет знак, находится из уравнения $\frac{3x}{2\pi} - \frac{3}{4} = 0$, откуда $x = \frac{3}{4} \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$.

Случай 1: $x \in [0, \frac{\pi}{2})$. В этом случае $\frac{3x}{2\pi} - \frac{3}{4} < 0$, и уравнение принимает вид:
$\sin x = -\left(\frac{3x}{2\pi} - \frac{3}{4}\right) = \frac{3}{4} - \frac{3x}{2\pi}$.
Подбором можно проверить "удобные" значения. Попробуем $x = \frac{\pi}{6}$.
Левая часть: $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.
Правая часть: $\frac{3}{4} - \frac{3(\pi/6)}{2\pi} = \frac{3}{4} - \frac{\pi/2}{2\pi} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Так как левая и правая части равны, $x = \frac{\pi}{6}$ является решением.

Случай 2: $x \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$. В этом случае $\frac{3x}{2\pi} - \frac{3}{4} \ge 0$, и уравнение принимает вид:
$\sin x = \frac{3x}{2\pi} - \frac{3}{4}$.
Проверим значение $x = \frac{5\pi}{6}$.
Левая часть: $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.
Правая часть: $\frac{3(5\pi/6)}{2\pi} - \frac{3}{4} = \frac{5\pi/2}{2\pi} - \frac{3}{4} = \frac{5}{4} - \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Так как левая и правая части равны, $x = \frac{5\pi}{6}$ является решением.

Можно показать, что в каждом из интервалов $[0, \frac{\pi}{2})$ и $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ существует только по одному решению, анализируя производные соответствующих функций. Таким образом, других корней в области $[0, \pi]$ нет.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6}, x = \frac{5\pi}{6}$.

Рассмотрим уравнение $\cos x + \left|\frac{3x}{5\pi} - \frac{3}{10}\right| = 0$ при $x \ge 0$.

Уравнение можно переписать в виде $\cos x = -\left|\frac{3x}{5\pi} - \frac{3}{10}\right|$.

Поскольку модуль всегда неотрицателен, правая часть уравнения всегда неположительна ($\le 0$). Следовательно, и левая часть должна быть неположительной: $\cos x \le 0$.
Учитывая условие $x \ge 0$, это справедливо для $x \in \left[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right]$, где $k$ - целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, \ldots$).

Раскроем модуль. Выражение под модулем обращается в ноль при $\frac{3x}{5\pi} - \frac{3}{10} = 0$, откуда $x = \frac{3}{10} \cdot \frac{5\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$.

Случай 1: $x = \frac{\pi}{2}$.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \left|\frac{3(\pi/2)}{5\pi} - \frac{3}{10}\right| = 0 + \left|\frac{3\pi}{10\pi} - \frac{3}{10}\right| = 0 + \left|\frac{3}{10} - \frac{3}{10}\right| = 0$.
Равенство верное, значит $x = \frac{\pi}{2}$ — корень уравнения.

Случай 2: $x > \frac{\pi}{2}$.
В этом случае выражение под модулем $\frac{3x}{5\pi} - \frac{3}{10}$ положительно. Уравнение принимает вид:
$\cos x + \left(\frac{3x}{5\pi} - \frac{3}{10}\right) = 0$.
Проверим значение $x = \frac{4\pi}{3}$. Это значение попадает в интервал, где $\cos x \le 0$.
Левая часть: $\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.
Выражение в скобках: $\frac{3(4\pi/3)}{5\pi} - \frac{3}{10} = \frac{4\pi}{5\pi} - \frac{3}{10} = \frac{4}{5} - \frac{3}{10} = \frac{8}{10} - \frac{3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
Сумма: $-\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$.
Равенство верное, значит $x = \frac{4\pi}{3}$ также является корнем уравнения.

Анализ с помощью производной показывает, что других корней нет.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{4\pi}{3}$.