Номер 16.48, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.48. a) $cos x = \sqrt{x + 1}$;

б) $cos x = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}}$;

В) $cos x = -(x - \pi)^2 - 1$;

Г) $cos x = |x| + 1$.

а) $ \cos x = \sqrt{x+1} $

Для решения данного уравнения оценим множества значений левой и правой частей.

1. Множество значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.

2. Правая часть уравнения, функция $y = \sqrt{x+1}$, определена при $x+1 \ge 0$, то есть при $x \ge -1$. Множество значений этой функции $y \ge 0$.

Поскольку левая часть уравнения равна правой, то $\cos x$ должен быть неотрицательным: $\cos x = \sqrt{x+1} \ge 0$. Следовательно, для обеих частей уравнения должно выполняться условие: $0 \le \cos x \le 1$ и $0 \le \sqrt{x+1} \le 1$.

Из неравенства $\sqrt{x+1} \le 1$ после возведения в квадрат получаем $x+1 \le 1$, откуда $x \le 0$. Учитывая область определения $x \ge -1$, получаем, что корень уравнения (если он существует) должен находиться в отрезке $[-1, 0]$.

Проверим одну из границ этого отрезка. При $x=0$:
Левая часть: $\cos(0) = 1$.
Правая часть: $\sqrt{0+1} = \sqrt{1} = 1$.
Так как $1 = 1$, то $x=0$ является корнем уравнения.

Рассмотрим поведение функций $f(x) = \cos x$ и $g(x) = \sqrt{x+1}$ на отрезке $[-1, 0]$. На этом отрезке обе функции возрастают. При $x=-1$ имеем $f(-1) = \cos(-1) = \cos(1) > 0$ и $g(-1) = \sqrt{-1+1} = 0$, то есть $f(-1) > g(-1)$. При $x=0$ имеем $f(0) = g(0) = 1$. Так как на отрезке $[-1, 0]$ одна функция "догоняет" другую и они встречаются на правом конце отрезка, и при этом обе функции являются вогнутыми на данном интервале, другого пересечения их графиков на этом отрезке нет. Таким образом, $x=0$ — единственный корень.

Ответ: $x=0$.

б) $ \cos x = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}} $

1. Множество значений функции $y = \cos x$ есть отрезок $[-1, 1]$.

2. Правая часть, $y = \sqrt{x - \frac{\pi}{2}}$, определена при $x - \frac{\pi}{2} \ge 0$, то есть $x \ge \frac{\pi}{2}$. Множество значений этой функции $y \ge 0$.

Из равенства следует, что $\cos x \ge 0$. Таким образом, для существования решения необходимо одновременное выполнение условий: $x \ge \frac{\pi}{2}$ и $\cos x \ge 0$.

Проверим точку $x = \frac{\pi}{2}$:
Левая часть: $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Правая часть: $\sqrt{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}} = \sqrt{0} = 0$.
Так как $0 = 0$, то $x=\frac{\pi}{2}$ является корнем уравнения.

Рассмотрим случай $x > \frac{\pi}{2}$. Из условия $\cos x \le 1$ следует, что $\sqrt{x - \frac{\pi}{2}} \le 1$. Возведя в квадрат, получим $x - \frac{\pi}{2} \le 1$, откуда $x \le 1 + \frac{\pi}{2}$. Значит, если существуют другие решения, они должны лежать в интервале $(\frac{\pi}{2}, 1 + \frac{\pi}{2}]$.

Однако для любого $x$ из интервала $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, значение $\cos x$ является отрицательным (кроме точки $x=3\pi/2$, где он 0). Наш интервал $(\frac{\pi}{2}, 1 + \frac{\pi}{2}]$ (примерно $(1.57, 2.57]$) полностью попадает в интервал, где $\cos x < 0$. При этом правая часть уравнения $\sqrt{x-\frac{\pi}{2}}$ для $x > \frac{\pi}{2}$ строго положительна. Отрицательное число не может быть равно положительному, следовательно, на интервале $(\frac{\pi}{2}, 1 + \frac{\pi}{2}]$ решений нет.

Для $x > 1 + \frac{\pi}{2}$ правая часть $\sqrt{x - \frac{\pi}{2}} > 1$, в то время как левая часть $\cos x \le 1$. Равенство в этом случае невозможно. Следовательно, $x=\frac{\pi}{2}$ является единственным решением.

Ответ: $x=\frac{\pi}{2}$.

в) $ \cos x = -(x-\pi)^2 - 1 $

Оценим множества значений левой и правой частей уравнения.

1. Левая часть: $-1 \le \cos x \le 1$.

2. Правая часть: выражение $(x-\pi)^2$ всегда неотрицательно, $(x-\pi)^2 \ge 0$. Тогда $-(x-\pi)^2 \le 0$, и, следовательно, $-(x-\pi)^2 - 1 \le -1$.

Итак, мы имеем $\cos x \ge -1$ и $-(x-\pi)^2 - 1 \le -1$. Равенство между левой и правой частями возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны $-1$.

Составим систему уравнений: $ \begin{cases} \cos x = -1 \\ -(x-\pi)^2 - 1 = -1 \end{cases} $

Из второго уравнения получаем $-(x-\pi)^2 = 0$, что возможно только при $x-\pi=0$, то есть $x=\pi$.

Проверим, удовлетворяет ли это значение первому уравнению: $\cos(\pi) = -1$. Условие выполняется. Следовательно, $x=\pi$ является единственным решением.

Ответ: $x=\pi$.

г) $ \cos x = |x| + 1 $

Оценим множества значений левой и правой частей уравнения.

1. Левая часть: $-1 \le \cos x \le 1$. Максимальное значение равно 1.

2. Правая часть: выражение $|x|$ всегда неотрицательно, $|x| \ge 0$. Следовательно, $|x|+1 \ge 1$. Минимальное значение равно 1.

Итак, мы имеем $\cos x \le 1$ и $|x|+1 \ge 1$. Равенство возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны 1.

Составим систему уравнений: $ \begin{cases} \cos x = 1 \\ |x| + 1 = 1 \end{cases} $

Из второго уравнения получаем $|x|=0$, что возможно только при $x=0$.

Проверим, удовлетворяет ли это значение первому уравнению: $\cos(0) = 1$. Условие выполняется. Следовательно, $x=0$ является единственным решением.

Ответ: $x=0$.