Номер 16.46, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.46. Докажите, что функция $y = \cos x$:

a) возрастает на отрезке $[-3; -0.5];$

б) убывает на интервале $(7; 9);$

в) достигает на интервале $(3; 7)$ наименьшего и наибольшего значений;

г) не достигает на интервале $(-3; -0.5)$ ни наименьшего, ни наибольшего значений.

а) Для доказательства того, что функция $y = \cos x$ возрастает на отрезке $[-3; -0,5]$, найдём её производную и определим её знак на данном отрезке. Производная функции $y' = (\cos x)' = -\sin x$. Функция возрастает на отрезке, если её производная на соответствующем интервале положительна ($y' > 0$), а сама функция непрерывна на концах отрезка. Условие $y' > 0$ означает, что $-\sin x > 0$, что равносильно $\sin x < 0$. Известно, что синус отрицателен для углов, принадлежащих интервалу $(-\pi + 2\pi k, 2\pi k)$ для любого целого $k$. При $k=0$ получаем интервал $(-\pi, 0)$. Так как $\pi \approx 3,14159$, этот интервал примерно равен $(-3,14159; 0)$. Отрезок $[-3; -0,5]$ целиком принадлежит интервалу $(-\pi, 0)$, поскольку $-\pi < -3$ и $-0,5 < 0$. Следовательно, на интервале $(-3; -0,5)$ производная $y' = -\sin x$ положительна. Так как функция $y=\cos x$ непрерывна на отрезке $[-3; -0,5]$, она возрастает на всём этом отрезке. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано, так как производная функции $y=\cos x$ положительна на интервале $(-3; -0,5)$, и функция непрерывна на отрезке $[-3; -0,5]$.

б) Для доказательства того, что функция $y = \cos x$ убывает на интервале $(7; 9)$, также используем её производную $y' = -\sin x$. Функция убывает, если её производная отрицательна, то есть $y' < 0$. Условие $y' < 0$ означает, что $-\sin x < 0$, что равносильно $\sin x > 0$. Синус положителен для углов, принадлежащих интервалу $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$ для любого целого $k$. При $k=1$ получаем интервал $(2\pi, 3\pi)$. Используя приближённое значение $\pi \approx 3,14159$, получаем, что $2\pi \approx 6,28318$ и $3\pi \approx 9,42477$. Таким образом, интервал, где $\sin x > 0$, — это примерно $(6,28; 9,42)$. Заданный интервал $(7; 9)$ целиком принадлежит интервалу $(2\pi, 3\pi)$, поскольку $2\pi < 7$ и $9 < 3\pi$. Следовательно, на интервале $(7; 9)$ производная $y' = -\sin x$ отрицательна, и функция $y = \cos x$ убывает на этом интервале. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано, так как производная функции $y=\cos x$ отрицательна на интервале $(7; 9)$.

в) Чтобы доказать, что функция $y = \cos x$ достигает на интервале $(3; 7)$ наименьшего и наибольшего значений, нужно показать, что точки, в которых достигаются глобальные экстремумы функции, лежат внутри этого интервала. Область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$. Наибольшее значение, равное $1$, функция принимает в точках $x = 2\pi k$, а наименьшее, равное $-1$, — в точках $x = \pi + 2\pi k$, где $k$ — целое число. Рассмотрим заданный интервал $(3; 7)$. Проверим, попадает ли в него точка, где достигается наибольшее значение. При $k=1$, $x = 2\pi$. Так как $\pi \approx 3,14159$, то $2\pi \approx 6,28318$. Условие $3 < 2\pi < 7$ выполняется. Значит, в точке $x = 2\pi \in (3; 7)$ функция достигает своего наибольшего значения $y(2\pi) = 1$. Проверим, попадает ли в него точка, где достигается наименьшее значение. При $k=0$, $x = \pi$. Условие $3 < \pi < 7$ выполняется, так как $\pi \approx 3,14159$. Значит, в точке $x = \pi \in (3; 7)$ функция достигает своего наименьшего значения $y(\pi) = -1$. Поскольку точки, в которых функция достигает своих абсолютных минимума и максимума, находятся внутри интервала $(3; 7)$, то на этом интервале функция достигает своих наименьшего и наибольшего значений. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано, так как точки $x=\pi$ и $x=2\pi$, в которых $\cos x$ принимает значения $-1$ и $1$ соответственно, принадлежат интервалу $(3; 7)$.

г) Чтобы доказать, что функция $y = \cos x$ не достигает на интервале $(-3; -0,5)$ ни наименьшего, ни наибольшего значений, воспользуемся результатом из пункта (а). В пункте (а) было показано, что на отрезке $[-3; -0,5]$ функция $y = \cos x$ строго возрастает. Это означает, что для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $\cos(x_1) < \cos(x_2)$. На открытом интервале $(a, b)$ строго монотонная функция не достигает своих экстремумов. Множество её значений на этом интервале есть открытый интервал $(\cos(-3), \cos(-0,5))$. Для любой точки $c \in (-3; -0,5)$ можно найти точку $c'$ такую, что $c < c' < -0,5$. Так как функция возрастает, $\cos(c) < \cos(c')$, следовательно, значение в точке $c$ не является наибольшим. Аналогично, можно найти точку $c''$ такую, что $-3 < c'' < c$, и тогда $\cos(c'') < \cos(c)$, следовательно, значение в точке $c$ не является наименьшим. Таким образом, функция $y = \cos x$ на интервале $(-3; -0,5)$ не достигает ни наименьшего, ни наибольшего значения. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано, так как на открытом интервале $(-3; -0,5)$ функция $y=\cos x$ является строго монотонной, и поэтому не может достигать своих граничных значений, которые являются её инфимумом и супремумом.