Номер 16.62, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.62. Постройте график функции:

а) $y = \frac{|\sin x|}{\sin x}$;

б) $y = \operatorname{tg} x \cdot |\cos x|$;

в) $y = \frac{2 \cos x}{|\cos x|}$;

г) $y = \operatorname{ctg} x \cdot |\sin x|$.

а) $y = \frac{|\sin x|}{\sin x}$

Первым делом определим область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $\sin x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
Далее рассмотрим два случая, раскрывая модуль:

1. Если $\sin x > 0$, что соответствует интервалам $x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n)$ для $n \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = \sin x$.
В этом случае функция принимает вид: $y = \frac{\sin x}{\sin x} = 1$.

2. Если $\sin x < 0$, что соответствует интервалам $x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$ для $n \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = -\sin x$.
В этом случае функция принимает вид: $y = \frac{-\sin x}{\sin x} = -1$.

Таким образом, график функции состоит из бесконечного набора горизонтальных линий. На интервалах, где синус положителен (например, $(0, \pi)$, $(2\pi, 3\pi)$ и т.д.), график представляет собой прямую $y=1$. На интервалах, где синус отрицателен (например, $(\pi, 2\pi)$, $(3\pi, 4\pi)$ и т.д.), график представляет собой прямую $y=-1$. В точках $x = \pi n$ функция не определена, поэтому на графике в этих точках будут выколотые (пустые) точки на концах отрезков.

Ответ: График функции — это совокупность горизонтальных интервалов. На интервалах $(2\pi n, \pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$, имеем $y=1$. На интервалах $(\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$, имеем $y=-1$. Точки с абсциссами $x=\pi n, n \in \mathbb{Z}$ выколоты.

б) $y = \operatorname{tg} x \cdot |\cos x|$

Заменим $\operatorname{tg} x$ на $\frac{\sin x}{\cos x}$: $y = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot |\cos x|$.
Область определения функции задается условием $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим два случая:

1. Если $\cos x > 0$, что соответствует интервалам $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$ для $n \in \mathbb{Z}$, то $|\cos x| = \cos x$.
Функция упрощается до: $y = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = \sin x$.

2. Если $\cos x < 0$, что соответствует интервалам $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$ для $n \in \mathbb{Z}$, то $|\cos x| = -\cos x$.
Функция упрощается до: $y = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot (-\cos x) = -\sin x$.

Итак, график функции состоит из "кусочков" синусоиды. На интервалах, где $\cos x > 0$ (например, $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$), график совпадает с графиком $y=\sin x$. На интервалах, где $\cos x < 0$ (например, $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$), график совпадает с графиком $y=-\sin x$. Функция периодическая с периодом $\pi$, так как $y(x+\pi) = \operatorname{tg}(x+\pi) \cdot |\cos(x+\pi)| = \operatorname{tg} x \cdot |-\cos x| = \operatorname{tg} x \cdot |\cos x| = y(x)$. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ функция не определена и имеет разрывы.

Ответ: График функции представляет собой повторяющийся узор. На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ он совпадает с графиком $y=\sin x$. На интервале $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ он совпадает с графиком $y=-\sin x$. Этот узор повторяется с периодом $\pi$. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ функция имеет разрывы первого рода (скачки).

в) $y = \frac{2 \cos x}{|\cos x|}$

Область определения функции: знаменатель не равен нулю, значит $|\cos x| \neq 0$, что эквивалентно $\cos x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если $\cos x > 0$, то есть $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$ для $n \in \mathbb{Z}$, то $|\cos x| = \cos x$.
Функция принимает вид: $y = \frac{2 \cos x}{\cos x} = 2$.

2. Если $\cos x < 0$, то есть $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$ для $n \in \mathbb{Z}$, то $|\cos x| = -\cos x$.
Функция принимает вид: $y = \frac{2 \cos x}{-\cos x} = -2$.

График этой функции, аналогично пункту а), является кусочно-постоянной функцией. Он состоит из горизонтальных линий на уровнях $y=2$ и $y=-2$. На интервалах, где косинус положителен (например, $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$), график — это прямая $y=2$. На интервалах, где косинус отрицателен (например, $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$), график — это прямая $y=-2$. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ функция не определена, на графике это выколотые точки.

Ответ: График функции — это совокупность горизонтальных интервалов. На интервалах $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$, имеем $y=2$. На интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$, имеем $y=-2$. Точки с абсциссами $x=\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ выколоты.

г) $y = \operatorname{ctg} x \cdot |\sin x|$

Представим $\operatorname{ctg} x$ как $\frac{\cos x}{\sin x}$: $y = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot |\sin x|$.
Область определения функции: $\sin x \neq 0$, откуда $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим два случая:

1. Если $\sin x > 0$, то есть $x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n)$ для $n \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = \sin x$.
Функция упрощается до: $y = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \cos x$.

2. Если $\sin x < 0$, то есть $x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$ для $n \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = -\sin x$.
Функция упрощается до: $y = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot (-\sin x) = -\cos x$.

Таким образом, график функции состоит из "кусочков" косинусоиды. На интервалах, где $\sin x > 0$ (например, $(0, \pi)$), график совпадает с графиком $y=\cos x$. На интервалах, где $\sin x < 0$ (например, $(\pi, 2\pi)$), график совпадает с графиком $y=-\cos x$.
Можно заметить, что функция периодична с периодом $2\pi$. На интервале $(0, \pi)$ график представляет собой арку косинуса, идущую от $y=1$ (в $x \to 0^+$) до $y=-1$ (в $x \to \pi^-$). На интервале $(\pi, 2\pi)$ график — это кривая $y=-\cos x$, идущая от $y=1$ (в $x \to \pi^+$) до $y=-1$ (в $x \to (2\pi)^-$). В точках $x = \pi n$ функция не определена и имеет разрывы (скачки).

Ответ: График функции состоит из повторяющихся фрагментов. На каждом интервале $(n\pi, (n+1)\pi), n \in \mathbb{Z}$, график представляет собой кривую, идущую от $y=1$ до $y=-1$. На интервалах $(2\pi n, \pi + 2\pi n)$ это часть графика $y=\cos x$, а на интервалах $(\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$ это часть графика $y=-\cos x$. В точках $x=\pi n, n \in \mathbb{Z}$ функция имеет разрыв: предел слева равен -1, а предел справа равен 1.