Номер 16.63, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

16.63. Постройте и прочитайте график функции:

a) $y = \begin{cases} 2x - \pi, & \text{если } x < \frac{\pi}{2} \\ \cos x, & \text{если } \frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2} \\ \frac{3\pi}{2} - x, & \text{если } x > \frac{3\pi}{2} \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x \le 0 \\ x^2, & \text{если } 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ \cos x, & \text{если } x \ge \frac{\pi}{2} \end{cases}$

а)

Задана кусочно-линейная функция: $y = \begin{cases} 2x - \pi, & \text{если } x < \frac{\pi}{2} \\ \cos x, & \text{если } \frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2} \\ \frac{3\pi}{2} - x, & \text{если } x > \frac{3\pi}{2} \end{cases}$

Построение графика:
График состоит из трех частей:

• При $x < \frac{\pi}{2}$ график является лучом прямой $y = 2x - \pi$. Он проходит через точку $(0, -\pi)$ и заканчивается в точке $(\frac{\pi}{2}, 0)$. Конечная точка луча выколота, так как неравенство строгое.
• При $\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}$ график совпадает с частью косинусоиды $y = \cos x$. Он начинается в точке $(\frac{\pi}{2}, \cos(\frac{\pi}{2})) = (\frac{\pi}{2}, 0)$, достигает минимума в точке $(\pi, \cos(\pi)) = (\pi, -1)$ и заканчивается в точке $(\frac{3\pi}{2}, \cos(\frac{3\pi}{2})) = (\frac{3\pi}{2}, 0)$. Обе конечные точки включены.
• При $x > \frac{3\pi}{2}$ график является лучом прямой $y = \frac{3\pi}{2} - x$. Он начинается в точке $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ (точка выколота) и идет вниз, проходя, например, через точку $(2\pi, -\frac{\pi}{2})$.

Проверим непрерывность в точках "стыковки".
При $x = \frac{\pi}{2}$: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-} (2x - \pi) = 0$; $y(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Предел слева равен значению функции, разрыва нет.
При $x = \frac{3\pi}{2}$: $y(\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$; $\lim_{x \to \frac{3\pi}{2}+} (\frac{3\pi}{2} - x) = 0$. Значение функции равно пределу справа, разрыва нет.
Таким образом, функция непрерывна на всей числовой оси.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0]$.
• Нули функции: $y=0$ при $x=\frac{\pi}{2}$ и $x=\frac{3\pi}{2}$.
• Точка пересечения с осью OY: $(0, -\pi)$.
• Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при $x \in (-\infty, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}, +\infty)$. Промежутков, где $y>0$, нет.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty, \frac{\pi}{2}]$ и на $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$; убывает на $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ и на $[\frac{3\pi}{2}, +\infty)$.
• Точки экстремума: $x_{max1} = \frac{\pi}{2}$ ($y_{max1} = 0$) и $x_{max2} = \frac{3\pi}{2}$ ($y_{max2} = 0$) — точки локального максимума; $x_{min} = \pi$ ($y_{min} = -1$) — точка локального минимума.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
• Четность/нечетность: функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
• Периодичность: функция непериодическая.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию, состоящую из двух лучей и участка косинусоиды между ними. Функция определена для всех действительных чисел, ее значения не превышают 0. Локальные максимумы достигаются в точках $(\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, локальный минимум — в точке $(\pi, -1)$.

б)

Задана кусочная функция: $y = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x \le 0 \\ x^2, & \text{если } 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ \cos x, & \text{если } x \ge \frac{\pi}{2} \end{cases}$

Построение графика:
График состоит из трех частей:

• При $x \le 0$ график совпадает с частью синусоиды $y = \sin x$. Он проходит через точки $(0, 0)$, $(-\frac{\pi}{2}, -1)$, $(-\pi, 0)$ и так далее. Точка $(0,0)$ включена.
• При $0 < x < \frac{\pi}{2}$ график является частью параболы $y = x^2$ с вершиной в начале координат. Начальная точка $(0,0)$ и конечная точка $(\frac{\pi}{2}, (\frac{\pi}{2})^2)$ выколоты. Заметим, что $(\frac{\pi}{2})^2 \approx 2.47$.
• При $x \ge \frac{\pi}{2}$ график совпадает с частью косинусоиды $y = \cos x$. Он начинается в точке $(\frac{\pi}{2}, \cos(\frac{\pi}{2})) = (\frac{\pi}{2}, 0)$ (точка включена) и продолжается, проходя через точки $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$ и т.д.

Проверим непрерывность в точках "стыковки".
При $x = 0$: $y(0) = \sin(0) = 0$; $\lim_{x \to 0+} x^2 = 0$. Значение функции равно пределу справа, в точке $x=0$ разрыва нет.
При $x = \frac{\pi}{2}$: $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-} x^2 = (\frac{\pi}{2})^2$; $y(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Так как $(\frac{\pi}{2})^2 \neq 0$, в точке $x = \frac{\pi}{2}$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [-1; (\frac{\pi}{2})^2)$.
• Нули функции: $y=0$ при $x = \pi k$ для целых $k \le 0$, и при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ для целых $n \ge 0$.
• Точка пересечения с осью OY: $(0, 0)$.
• Промежутки знакопостоянства:
  $y > 0$ при $x \in (0, \frac{\pi}{2}) \cup \bigcup_{k \in \mathbb{Z}, k\le -1} (2\pi k, (2k+1)\pi) \cup \bigcup_{n \in \mathbb{Z}, n\ge 0} (-\frac{\pi}{2}+2\pi(n+1), \frac{\pi}{2}+2\pi(n+1))$.
  $y < 0$ при $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}, k\le -1} ((2k-1)\pi, 2k\pi) \cup \bigcup_{n \in \mathbb{Z}, n\ge 0} (\frac{\pi}{2}+2\pi n, \frac{3\pi}{2}+2\pi n)$.
• Промежутки монотонности:
  Возрастает на каждом из промежутков $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ для $k \le 0$ (включая объединенный интервал $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$), и на каждом из промежутков $[\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n]$ для $n \ge 0$.
  Убывает на каждом из промежутков $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \pi + 2\pi k]$ для $k \ge 0$, и на каждом из промежутков $[\pi + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$ для $n \le -1$.
• Точки экстремума:
  Локальные максимумы: $y=1$ в точках $x = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, k \le 0$ и $x = 2\pi n, n \ge 1$.
  Локальные минимумы: $y=-1$ в точках $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \le 0$ и $x = \pi + 2\pi n, n \ge 0$. Точка $(0,0)$ также является точкой локального минимума. Точка $x=\frac{\pi}{2}$ не является точкой экстремума.
• Непрерывность: функция непрерывна на $(-\infty, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, +\infty)$. В точке $x=\frac{\pi}{2}$ имеет разрыв первого рода.
• Четность/нечетность: функция общего вида.
• Периодичность: функция непериодическая.

Ответ: График функции состоит из трех частей: синусоиды при $x \le 0$, параболы на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$ и косинусоиды при $x \ge \frac{\pi}{2}$. Функция непрерывна везде, кроме точки $x = \frac{\pi}{2}$, где происходит скачок от значения $(\frac{\pi}{2})^2$ к $0$. Область значений функции $E(y) = [-1; (\frac{\pi}{2})^2)$.