Номер 17.2, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

17.2. а) $y = -2(x - 1)^3$;

Б) $y = 3|x + 2|$;

В) $y = -2\sqrt{x} - 3$;

Г) $y = 0.5x^{-3}$.

а) Дана функция $y = -2(x - 1)^3$.
Для анализа и построения графика этой функции рассмотрим последовательность геометрических преобразований графика базовой функции $y = x^3$.
1. Базовая функция: $y = x^3$. Это кубическая парабола, которая проходит через начало координат и является нечетной (симметричной относительно начала координат).
2. Сдвиг по оси абсцисс: Функция $y = (x - 1)^3$ получается из графика $y = x^3$ сдвигом на $1$ единицу вправо вдоль оси $Ox$. Центр симметрии графика перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(1, 0)$.
3. Растяжение вдоль оси ординат: Функция $y = 2(x - 1)^3$ получается из предыдущего графика растяжением в $2$ раза вдоль оси $Oy$ (относительно оси $Ox$). Каждое значение ординаты умножается на $2$.
4. Симметричное отражение: Искомая функция $y = -2(x - 1)^3$ получается из графика $y = 2(x - 1)^3$ симметричным отражением относительно оси $Ox$, так как перед выражением стоит коэффициент $-1$.

Основные свойства функции $y = -2(x - 1)^3$:
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
Пересечения с осями координат:
- с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = -2(0 - 1)^3 = -2(-1)^3 = 2$. Точка $(0, 2)$.
- с осью $Ox$ (при $y=0$): $0 = -2(x - 1)^3 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$. Точка $(1, 0)$.
Монотонность: функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: График функции $y = -2(x - 1)^3$ получается из графика $y=x^3$ путем сдвига на 1 единицу вправо, растяжения в 2 раза вдоль оси $Oy$ и отражения относительно оси $Ox$. Область определения и область значений - все действительные числа. Функция убывающая.

б) Дана функция $y = 3|x + 2|$.
Для анализа и построения графика этой функции рассмотрим последовательность преобразований графика базовой функции $y = |x|$.
1. Базовая функция: $y = |x|$. Это V-образный график с вершиной в начале координат.
2. Сдвиг по оси абсцисс: Функция $y = |x + 2|$ получается из графика $y = |x|$ сдвигом на $2$ единицы влево вдоль оси $Ox$. Вершина графика перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-2, 0)$.
3. Растяжение вдоль оси ординат: Искомая функция $y = 3|x + 2|$ получается из предыдущего графика растяжением в $3$ раза вдоль оси $Oy$ (относительно оси $Ox$). Угол наклона ветвей графика увеличивается.

Основные свойства функции $y = 3|x + 2|$:
Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$, так как модуль числа всегда неотрицателен.
Экстремумы: В точке $x=-2$ функция достигает своего минимума, $y_{min} = 0$. Вершина графика находится в точке $(-2, 0)$.
Пересечения с осями координат:
- с осью $Oy$ (при $x=0$): $y = 3|0 + 2| = 3 \cdot 2 = 6$. Точка $(0, 6)$.
- с осью $Ox$ (при $y=0$): $0 = 3|x + 2| \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Точка $(-2, 0)$.
Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; -2]$ и возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$.

Ответ: График функции $y = 3|x + 2|$ получается из графика $y=|x|$ путем сдвига на 2 единицы влево и растяжения в 3 раза вдоль оси $Oy$. Область определения: $x \in \mathbb{R}$, область значений: $y \in [0; +\infty)$. Минимальное значение функции равно 0 при $x=-2$.

в) Дана функция $y = -2\sqrt{x - 3}$.
Для анализа и построения графика этой функции рассмотрим последовательность преобразований графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.
1. Базовая функция: $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$, расположенная в первой координатной четверти.
2. Сдвиг по оси абсцисс: Функция $y = \sqrt{x - 3}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ сдвигом на $3$ единицы вправо вдоль оси $Ox$. Начальная точка графика перемещается из $(0, 0)$ в $(3, 0)$.
3. Растяжение вдоль оси ординат: Функция $y = 2\sqrt{x - 3}$ получается из предыдущего графика растяжением в $2$ раза вдоль оси $Oy$.
4. Симметричное отражение: Искомая функция $y = -2\sqrt{x - 3}$ получается из графика $y = 2\sqrt{x - 3}$ симметричным отражением относительно оси $Ox$.

Основные свойства функции $y = -2\sqrt{x - 3}$:
Область определения: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$. Итак, $D(y) = [3; +\infty)$.
Область значений: Так как $\sqrt{x-3} \ge 0$, то $-2\sqrt{x-3} \le 0$. Итак, $E(y) = (-\infty; 0]$.
Экстремумы: В точке $x=3$ функция достигает своего максимума, $y_{max} = 0$. Начальная точка графика - $(3, 0)$.
Пересечения с осями координат:
- с осью $Oy$: пересечений нет, так как $x=0$ не входит в область определения.
- с осью $Ox$ (при $y=0$): $0 = -2\sqrt{x - 3} \Rightarrow x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$. Точка $(3, 0)$.
Монотонность: функция является убывающей на всей своей области определения $[3; +\infty)$.

Ответ: График функции $y = -2\sqrt{x - 3}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем сдвига на 3 единицы вправо, растяжения в 2 раза вдоль оси $Oy$ и отражения относительно оси $Ox$. Область определения: $x \in [3; +\infty)$, область значений: $y \in (-\infty; 0]$. Функция убывающая.

г) Дана функция $y = 0,5x^{-3}$, которую можно записать в виде $y = \frac{0,5}{x^3}$.
Для анализа и построения графика этой функции рассмотрим преобразование графика базовой функции $y = x^{-3}$ или $y = \frac{1}{x^3}$.
1. Базовая функция: $y = \frac{1}{x^3}$. Это гипербола, расположенная в первой и третьей координатных четвертях, с асимптотами $x=0$ (ось $Oy$) и $y=0$ (ось $Ox$).
2. Сжатие вдоль оси ординат: Искомая функция $y = 0,5 \cdot \frac{1}{x^3}$ получается из графика $y = \frac{1}{x^3}$ путем сжатия к оси $Ox$ в $2$ раза (или с коэффициентом $0,5$).

Основные свойства функции $y = 0,5x^{-3}$:
Область определения: Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$. Итак, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Область значений: Функция не может принимать значение $0$. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.
Пересечения с осями координат: отсутствуют.
Четность: Функция является нечетной, так как $y(-x) = 0,5(-x)^{-3} = -0,5x^{-3} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
Монотонность: функция убывает на каждом из промежутков своей области определения: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

Ответ: График функции $y = 0,5x^{-3}$ получается из графика $y = x^{-3}$ путем сжатия в 2 раза к оси $Ox$. Область определения: $x \neq 0$, область значений: $y \neq 0$. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$. Функция убывает на $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.