Номер 17.4, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

17.4. а) $y = -2 \sin x$;

б) $y = -3 \cos x$;

В) $y = 1.5 \sin x$;

Г) $y = -1.5 \cos x$.

а) $y = -2\sin x$

Областью значений функции синус является отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого значения $x$ выполняется двойное неравенство:

$-1 \le \sin x \le 1$

Чтобы найти область значений для функции $y = -2\sin x$, необходимо умножить все части этого неравенства на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-2) \ge (\sin x) \cdot (-2) \ge 1 \cdot (-2)$

$2 \ge -2\sin x \ge -2$

Запишем это неравенство в стандартном виде, от меньшего значения к большему:

$-2 \le -2\sin x \le 2$

Следовательно, областью значений функции $y = -2\sin x$ является отрезок $[-2, 2]$.

Ответ: $E(y) = [-2; 2]$.

б) $y = -3\cos x$

Областью значений функции косинус, как и функции синус, является отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, для любого значения $x$ справедливо неравенство:

$-1 \le \cos x \le 1$

Умножим все части этого неравенства на -3. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства необходимо изменить на противоположные:

$(-1) \cdot (-3) \ge (\cos x) \cdot (-3) \ge 1 \cdot (-3)$

$3 \ge -3\cos x \ge -3$

Перепишем неравенство в стандартном порядке:

$-3 \le -3\cos x \le 3$

Таким образом, область значений функции $y = -3\cos x$ — это отрезок $[-3, 3]$.

Ответ: $E(y) = [-3; 3]$.

в) $y = 1,5\sin x$

Мы знаем, что область значений для функции $y = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

$-1 \le \sin x \le 1$

Для нахождения области значений функции $y = 1,5\sin x$, умножим все части неравенства на 1,5. Поскольку 1,5 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$(-1) \cdot 1,5 \le (\sin x) \cdot 1,5 \le 1 \cdot 1,5$

$-1,5 \le 1,5\sin x \le 1,5$

Следовательно, область значений данной функции — это отрезок $[-1,5; 1,5]$.

Ответ: $E(y) = [-1,5; 1,5]$.

г) $y = -1,5\cos x$

Областью значений функции $y = \cos x$ является отрезок $[-1, 1]$:

$-1 \le \cos x \le 1$

Умножим все части этого двойного неравенства на -1,5. Так как -1,5 — это отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-1) \cdot (-1,5) \ge (\cos x) \cdot (-1,5) \ge 1 \cdot (-1,5)$

$1,5 \ge -1,5\cos x \ge -1,5$

Запишем полученное неравенство в стандартном виде:

$-1,5 \le -1,5\cos x \le 1,5$

Таким образом, областью значений функции $y = -1,5\cos x$ является отрезок $[-1,5; 1,5]$.

Ответ: $E(y) = [-1,5; 1,5]$.