Номер 17.10, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

17.10. a) $y = 2 |\cos x|;$

В) $y = 3 \sin |x|;$

б) $y = -3 \cos \left|x + \frac{\pi}{6}\right|;$

Г) $y = -2 \left|\sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right)\right|.$

а) $y = 2|\cos x|$

Для построения графика и анализа свойств функции $y = 2|\cos x|$ выполним последовательные преобразования, исходя из графика базовой функции $y = \cos x$.

Шаг 1: $y = \cos x$. Строим график стандартной косинусоиды. Период $T = 2\pi$, область значений $E(y) = [-1, 1]$.

Шаг 2: $y = |\cos x|$. Применяем операцию взятия модуля ко всей функции. Это означает, что все части графика $y = \cos x$, которые находятся ниже оси абсцисс (где значения функции отрицательны), симметрично отражаются относительно этой оси. Части графика, которые уже находятся выше или на оси, остаются на месте. В результате этого преобразования область значений становится $E(y) = [0, 1]$, а наименьший положительный период функции уменьшается вдвое и становится равным $T = \pi$.

Шаг 3: $y = 2|\cos x|$. Умножаем функцию $y = |\cos x|$ на 2. Это соответствует растяжению графика вдоль оси ординат (оси $y$) в 2 раза. Каждое значение $y$ увеличивается в 2 раза.

Итоговые свойства функции $y = 2|\cos x|$:

Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$ (все действительные числа).

Область значений: $E(y) = [0, 2]$.

Период: Наименьший положительный период $T = \pi$.

Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = 2|\cos(-x)| = 2|\cos x| = y(x)$.

Ответ: График функции $y=2|\cos x|$ получается из графика $y=\cos x$ путем симметричного отражения части графика, лежащей под осью Ox, относительно этой оси, и последующего растяжения полученного графика от оси Ox вдоль оси Oy в 2 раза. Основные свойства функции: область определения — все действительные числа, область значений — $[0, 2]$, наименьший положительный период равен $\pi$, функция является четной.

б) $y = -3\cos|x + \frac{\pi}{6}|$

Рассмотрим функцию $y = -3\cos|x + \frac{\pi}{6}|$. Важным свойством функции косинус является ее четность, то есть $\cos(-a) = \cos(a)$ для любого $a$. В нашем случае, пусть $a = x + \frac{\pi}{6}$. Тогда $|a|$ может быть равно либо $a$, либо $-a$. В любом случае $\cos|a| = \cos(a)$, поскольку косинус от противоположных аргументов равен.

Таким образом, $\cos|x + \frac{\pi}{6}| = \cos(x + \frac{\pi}{6})$. Это позволяет упростить исходную функцию до вида: $y = -3\cos(x + \frac{\pi}{6})$.

Теперь построим график и определим свойства этой функции, выполняя преобразования над графиком $y = \cos x$.

Шаг 1: $y = \cos x$. График — стандартная косинусоида.

Шаг 2: $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$. Сдвигаем график $y = \cos x$ влево по оси абсцисс на $\frac{\pi}{6}$.

Шаг 3: $y = 3\cos(x + \frac{\pi}{6})$. Растягиваем предыдущий график вдоль оси ординат в 3 раза. Амплитуда колебаний становится равной 3.

Шаг 4: $y = -3\cos(x + \frac{\pi}{6})$. Отражаем график $y = 3\cos(x + \frac{\pi}{6})$ симметрично относительно оси абсцисс.

Итоговые свойства функции $y = -3\cos|x + \frac{\pi}{6}|$:

Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений: Поскольку область значений для $\cos(x + \frac{\pi}{6})$ — это отрезок $[-1, 1]$, то для $-3\cos(x + \frac{\pi}{6})$ она будет $[-3, 3]$. Итак, $E(y) = [-3, 3]$.

Период: Все выполненные преобразования не меняют период функции $\cos x$, поэтому наименьший положительный период $T = 2\pi$.

Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида). Проверим: $y(-x) = -3\cos(-x + \frac{\pi}{6}) = -3\cos(x - \frac{\pi}{6})$. Это не равно ни $y(x)$, ни $-y(x)$.

Ответ: Функция тождественно равна $y = -3\cos(x + \frac{\pi}{6})$. Ее график получается из графика $y=\cos x$ путем сдвига влево на $\frac{\pi}{6}$, растяжения вдоль оси Oy в 3 раза и последующего симметричного отражения относительно оси Ox. Основные свойства функции: область определения — все действительные числа, область значений — $[-3, 3]$, наименьший положительный период равен $2\pi$, функция является функцией общего вида.

в) $y = 3\sin|x|$

Для построения графика функции $y = 3\sin|x|$ и анализа её свойств, начнем с базовой функции $y = \sin x$ и применим к ней последовательные преобразования.

Шаг 1: $y = \sin x$. Строим график стандартной синусоиды. Это нечетная функция с периодом $2\pi$ и областью значений $[-1, 1]$.

Шаг 2: $y = \sin|x|$. Модуль применяется к аргументу функции. Чтобы построить график $y = f(|x|)$ из графика $y = f(x)$, нужно сохранить часть графика $y=f(x)$ для $x \ge 0$ и отразить её симметрично относительно оси ординат ($Oy$) на левую полуплоскость. Часть исходного графика для $x<0$ при этом отбрасывается. Применительно к $y = \sin x$: мы сохраняем часть синусоиды при $x \ge 0$ и отражаем ее влево относительно оси $y$. Полученный график симметричен относительно оси $y$, следовательно, функция $y = \sin|x|$ является четной.

Шаг 3: $y = 3\sin|x|$. Растягиваем график функции $y = \sin|x|$ вдоль оси ординат в 3 раза.

Итоговые свойства функции $y = 3\sin|x|$:

Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений: Для $x \ge 0$, функция $\sin|x| = \sin x$ принимает все значения из отрезка $[-1, 1]$. Из-за симметрии, для $x < 0$ значения будут теми же. Таким образом, область значений для $y = \sin|x|$ — это $[-1, 1]$, а для $y = 3\sin|x|$ — это $E(y) = [-3, 3]$.

Периодичность: Функция не является периодической. Хотя для $x>0$ она ведет себя как синусоида, наличие "излома" в точке $x=0$ и симметрия нарушают строгую периодичность на всей числовой оси. Например, равенство $y(x) = y(x+2\pi)$ не выполняется для $x < 0$, когда $x+2\pi > 0$.

Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = 3\sin|-x| = 3\sin|x| = y(x)$.

Ответ: Для построения графика $y = 3\sin|x|$ необходимо построить график $y = \sin x$ для $x \ge 0$, а затем отразить эту часть графика симметрично относительно оси Oy. После этого полученный график растянуть от оси Ox вдоль оси Oy в 3 раза. Основные свойства функции: область определения — все действительные числа, область значений — $[-3, 3]$, функция не является периодической, функция является четной.

г) $y = -2|\sin(x - \frac{\pi}{3})|$

Построение графика и анализ свойств данной функции проведем путем последовательных преобразований графика функции $y = \sin x$.

Шаг 1: $y = \sin x$. Строим график стандартной синусоиды.

Шаг 2: $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$. Сдвигаем график $y = \sin x$ вправо по оси абсцисс на $\frac{\pi}{3}$. Период $T=2\pi$ и область значений $E(y)=[-1, 1]$ сохраняются.

Шаг 3: $y = |\sin(x - \frac{\pi}{3})|$. Применяем модуль ко всей функции. Части графика $y = \sin(x - \frac{\pi}{3})$, находящиеся ниже оси абсцисс, отражаются симметрично относительно этой оси вверх. В результате область значений становится $E(y) = [0, 1]$, а наименьший положительный период функции уменьшается вдвое и становится равным $T = \pi$.

Шаг 4: $y = -2|\sin(x - \frac{\pi}{3})|$. Данное преобразование состоит из растяжения вдоль оси $y$ в 2 раза и последующего симметричного отражения относительно оси $x$. Сначала растягиваем график $y = |\sin(x - \frac{\pi}{3})|$ от оси абсцисс в 2 раза, получая $y = 2|\sin(x - \frac{\pi}{3})|$ с областью значений $[0, 2]$. Затем отражаем полученный график симметрично относительно оси абсцисс.

Итоговые свойства функции $y = -2|\sin(x - \frac{\pi}{3})|$:

Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.

Область значений: После всех преобразований график целиком лежит ниже или на оси абсцисс. Максимальное значение равно 0, а минимальное -2. Таким образом, $E(y) = [-2, 0]$.

Период: Растяжение и отражение не влияют на период, поэтому наименьший положительный период $T = \pi$.

Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной. Проверка: $y(-x) = -2|\sin(-x - \frac{\pi}{3})| = -2|\sin(-(x + \frac{\pi}{3}))| = -2|-\sin(x + \frac{\pi}{3})| = -2|\sin(x + \frac{\pi}{3})|$. Это выражение не равно ни $y(x)$, ни $-y(x)$.

Ответ: Для построения графика $y = -2|\sin(x - \frac{\pi}{3})|$ необходимо: 1) построить график $y=\sin x$; 2) сдвинуть его вправо на $\frac{\pi}{3}$; 3) часть графика, лежащую под осью Ox, отразить симметрично относительно этой оси; 4) растянуть полученный график от оси Ox вдоль оси Oy в 2 раза; 5) отразить результат симметрично относительно оси Ox. Основные свойства функции: область определения — все действительные числа, область значений — $[-2, 0]$, наименьший положительный период равен $\pi$, функция является функцией общего вида.