Номер 17.13, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

17.13. Составьте возможную аналитическую запись функции по её графику, изображённому:

а) на рис. 54;

y

4

1

-2

-1

O

$\frac{\pi}{2}$

$\pi$

x

Рис. 54

б) на рис. 55.

y

1,5

1

$-\frac{\pi}{2}$

O

$\frac{\pi}{2}$

x

Рис. 55

а)

График, изображённый на рис. 54, представляет собой кусочно-заданную функцию, определённую по-разному для $x < 0$ и $x \ge 0$.

1. При $x < 0$ график является ветвью параболы. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Общий вид такой параболы $y = ax^2$. Чтобы найти коэффициент $a$, возьмём контрольную точку на графике, например, $(-1, 1)$. Подставим её координаты в уравнение:

$1 = a \cdot (-1)^2$, откуда $a=1$.

Проверим ещё одну точку, например, $(-2, 4)$: $4 = 1 \cdot (-2)^2$, что также верно. Таким образом, для $x < 0$ функция задаётся формулой $y=x^2$.

2. При $x \ge 0$ график похож на синусоиду. Это одна полуволна синусоиды вида $y = A \sin(kx)$.

Амплитуда $A$ — это максимальное значение функции на этом участке. Из графика видно, что максимум достигается в точке $(\frac{\pi}{2}, 0.5)$, следовательно, $A=0.5$.

Период стандартной функции $\sin(x)$ равен $2\pi$, а длина одной полуволны — $\pi$. На графике мы видим, что полуволна расположена на отрезке $[0, \pi]$, её длина равна $\pi$. Это означает, что период функции совпадает со стандартным, и коэффициент $k=1$.

Таким образом, для $x \ge 0$ функция задаётся формулой $y = 0.5 \sin(x)$.

Объединяя обе части, получаем аналитическую запись функции:

$y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0 \\ 0.5 \sin(x), & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} x^2, & \text{при } x < 0 \\ 0.5 \sin(x), & \text{при } x \ge 0 \end{cases}$

б)

График на рис. 55 также является кусочно-заданной функцией, состоящей из трёх частей.

1. На интервале $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ график представляет собой часть косинусоиды вида $y = A \cos(kx)$.

Максимум функции достигается в точке $(0, 1.5)$, следовательно, амплитуда $A=1.5$.

Функция обращается в ноль в точках $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$. Это совпадает с нулями стандартной функции $\cos(x)$, поэтому коэффициент $k=1$.

Проверим: $y = 1.5 \cos(x)$. При $x=0$, $y=1.5\cos(0)=1.5$. При $x=\pm\frac{\pi}{2}$, $y=1.5\cos(\pm\frac{\pi}{2})=0$. Это соответствует графику.

Итак, на отрезке $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ функция имеет вид $y = 1.5 \cos(x)$.

2. При $x > \frac{\pi}{2}$ график представляет собой луч прямой. Он выходит из точки $(\frac{\pi}{2}, 0)$. Найдём ещё одну точку, через которую проходит луч, чтобы определить его уравнение. Из графика видно, что луч проходит через точку $(\pi, 1)$.

Найдём угловой коэффициент (тангенс угла наклона) прямой: $m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1-0}{\pi - \frac{\pi}{2}} = \frac{1}{\frac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi}$.

Уравнение прямой: $y - y_0 = m(x-x_0)$. Подставим точку $(\frac{\pi}{2}, 0)$: $y - 0 = \frac{2}{\pi}(x - \frac{\pi}{2})$, что даёт $y = \frac{2}{\pi}x - 1$.

3. При $x < -\frac{\pi}{2}$ график также является лучом прямой, выходящим из точки $(-\frac{\pi}{2}, 0)$. Луч также проходит через точку $(-\pi, 1)$.

Найдём угловой коэффициент: $m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{1-0}{-\pi - (-\frac{\pi}{2})} = \frac{1}{-\frac{\pi}{2}} = -\frac{2}{\pi}$.

Уравнение прямой: $y - 0 = -\frac{2}{\pi}(x - (-\frac{\pi}{2}))$, что даёт $y = -\frac{2}{\pi}x - 1$.

Собирая все три части вместе, получаем аналитическую запись:

$y = \begin{cases} -\frac{2}{\pi}x - 1, & \text{если } x < -\frac{\pi}{2} \\ 1.5 \cos(x), & \text{если } -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} \\ \frac{2}{\pi}x - 1, & \text{если } x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} -\frac{2}{\pi}x - 1, & \text{при } x < -\frac{\pi}{2} \\ 1.5 \cos(x), & \text{при } -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} \\ \frac{2}{\pi}x - 1, & \text{при } x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$