Номер 17.17, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

17.17. а) $y = \frac{3 \sin^3 x}{1 - \cos^2 x}$;

б) $y = \frac{\cos^3 x}{2 \sin^2 x - 2}$.

а) Рассмотрим функцию $y = \frac{3 \sin^3 x}{1 - \cos^2 x}$.

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$1 - \cos^2 x \neq 0$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, преобразуем знаменатель:

$\sin^2 x \neq 0$

Отсюда следует, что $\sin x \neq 0$, а значит $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь упростим выражение для функции в области ее определения:

$y = \frac{3 \sin^3 x}{1 - \cos^2 x} = \frac{3 \sin^3 x}{\sin^2 x} = 3 \sin x$.

Таким образом, график исходной функции является графиком функции $y = 3 \sin x$ с исключенными точками, в которых $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

График функции $y = 3 \sin x$ — это синусоида, растянутая в 3 раза вдоль оси Oy по сравнению с графиком $y = \sin x$. Амплитуда колебаний равна 3, период функции — $2\pi$.

Найдем координаты "выколотых" точек. Для этого подставим значения $x = \pi n$ в упрощенную функцию $y = 3 \sin x$:

$y = 3 \sin(\pi n) = 3 \cdot 0 = 0$.

Следовательно, из графика функции $y = 3 \sin x$ необходимо исключить точки с координатами $(\pi n, 0)$, где $n \in \mathbb{Z}$. Например, это точки $(..., -2\pi, 0), (-\pi, 0), (0, 0), (\pi, 0), (2\pi, 0), ...)$.

Ответ: График функции представляет собой синусоиду $y = 3 \sin x$ с "выколотыми" точками вида $(\pi n, 0)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) Рассмотрим функцию $y = \frac{\cos^3 x}{2 \sin^2 x - 2}$.

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$2 \sin^2 x - 2 \neq 0$

$2(\sin^2 x - 1) \neq 0$

$-2(1 - \sin^2 x) \neq 0$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, преобразуем выражение в скобках:

$-2 \cos^2 x \neq 0$

$\cos^2 x \neq 0$

Отсюда следует, что $\cos x \neq 0$, а значит $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь упростим выражение для функции в области ее определения:

$y = \frac{\cos^3 x}{2 \sin^2 x - 2} = \frac{\cos^3 x}{-2(1 - \sin^2 x)} = \frac{\cos^3 x}{-2 \cos^2 x} = -\frac{1}{2} \cos x$.

Таким образом, график исходной функции является графиком функции $y = -\frac{1}{2} \cos x$ с исключенными точками, в которых $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

График функции $y = -\frac{1}{2} \cos x$ — это косинусоида, отраженная относительно оси Ox и сжатая в 2 раза вдоль оси Oy по сравнению с графиком $y = \cos x$. Амплитуда колебаний равна $\frac{1}{2}$, период функции — $2\pi$.

Найдем координаты "выколотых" точек. Для этого подставим значения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ в упрощенную функцию $y = -\frac{1}{2} \cos x$:

$y = -\frac{1}{2} \cos(\frac{\pi}{2} + \pi n) = -\frac{1}{2} \cdot 0 = 0$.

Следовательно, из графика функции $y = -\frac{1}{2} \cos x$ необходимо исключить точки с координатами $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$, где $n \in \mathbb{Z}$. Например, это точки $(..., -\frac{3\pi}{2}, 0), (-\frac{\pi}{2}, 0), (\frac{\pi}{2}, 0), (\frac{3\pi}{2}, 0), ...)$.

Ответ: График функции представляет собой косинусоиду $y = -\frac{1}{2} \cos x$ с "выколотыми" точками вида $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$, где $n \in \mathbb{Z}$.