Номер 17.21, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

17.21. a) $y = \sin x + \sin |x| + |\sin x|;$

б) $y = \cos x + \cos |x| - |\cos x|.$

а) $y = \sin x + \sin|x| + |\sin x|$

Для упрощения этого выражения необходимо раскрыть модули. Раскрытие модулей $|x|$ и $|\sin x|$ зависит от знака их аргументов. Рассмотрим два основных случая в зависимости от знака $x$.

1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:

$y = \sin x + \sin x + |\sin x| = 2\sin x + |\sin x|$

Далее рассмотрим два подслучая в зависимости от знака $\sin x$:

- Если $\sin x \ge 0$ (это происходит при $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k$ — целое неотрицательное число), то $|\sin x| = \sin x$. Тогда:

$y = 2\sin x + \sin x = 3\sin x$

- Если $\sin x < 0$ (это происходит при $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k$ — целое неотрицательное число), то $|\sin x| = -\sin x$. Тогда:

$y = 2\sin x - \sin x = \sin x$

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:

$y = \sin x + \sin(-x) + |\sin x|$

Поскольку функция синус является нечетной, $\sin(-x) = -\sin x$. Следовательно:

$y = \sin x - \sin x + |\sin x| = |\sin x|$

Объединяя все случаи, получаем кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} |\sin x|, & \text{если } x < 0 \\ 3\sin x, & \text{если } x \ge 0 \text{ и } \sin x \ge 0 \\ \sin x, & \text{если } x \ge 0 \text{ и } \sin x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} |\sin x|, & \text{если } x < 0 \\ 3\sin x, & \text{если } x \ge 0 \text{ и } \sin x \ge 0 \\ \sin x, & \text{если } x \ge 0 \text{ и } \sin x < 0 \end{cases}$

б) $y = \cos x + \cos|x| - |\cos x|$

Для упрощения этого выражения необходимо раскрыть модули. Начнем с $\cos|x|$.

Функция косинус является четной, то есть $\cos(-x) = \cos x$ для любого $x$. Это означает, что $\cos|x| = \cos x$ независимо от знака $x$.

Подставим это в исходное уравнение:

$y = \cos x + \cos x - |\cos x| = 2\cos x - |\cos x|$

Теперь выражение зависит только от знака $\cos x$. Раскроем оставшийся модуль:

1. Если $\cos x \ge 0$ (это происходит при $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k$ — целое число), то $|\cos x| = \cos x$. Тогда:

$y = 2\cos x - \cos x = \cos x$

2. Если $\cos x < 0$ (это происходит при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k$ — целое число), то $|\cos x| = -\cos x$. Тогда:

$y = 2\cos x - (-\cos x) = 2\cos x + \cos x = 3\cos x$

Таким образом, итоговая функция может быть записана в кусочном виде, который не зависит от знака $x$, а только от знака $\cos x$:

$y = \begin{cases} \cos x, & \text{если } \cos x \ge 0 \\ 3\cos x, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} \cos x, & \text{если } \cos x \ge 0 \\ 3\cos x, & \text{если } \cos x < 0 \end{cases}$