Номер 18.6, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

18.6. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = \cos \frac{x}{3}$

а) на луче $[0; +\infty)$;

б) на открытом луче $(-\infty; \pi)$;

в) на луче $(-\infty; \frac{\pi}{2}]$;

г) на открытом луче $(\frac{\pi}{3}; +\infty)$.

Область значений функции $y = \cos(\frac{x}{3})$ совпадает с областью значений стандартной функции косинуса, то есть является отрезком $[-1; 1]$. Это означает, что для любого $x$ значение функции $y$ удовлетворяет неравенству $-1 \le y \le 1$. Следовательно, наибольшее значение функции не может быть больше 1, а наименьшее — меньше -1.

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения на заданных промежутках, сделаем замену переменной $t = \frac{x}{3}$. Задача сводится к нахождению наименьшего и наибольшего значений функции $y = \cos(t)$ на промежутках, соответствующих заданным для $x$. Напомним, что $\cos(t)$ достигает наибольшего значения 1 при $t = 2\pi n$ и наименьшего значения -1 при $t = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

а) на луче $[0; +\infty)$

Если $x \in [0; +\infty)$, то аргумент $t = \frac{x}{3}$ принадлежит промежутку $[\frac{0}{3}; +\infty)$, то есть $t \in [0; +\infty)$.

Нужно найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos(t)$ на промежутке $[0; +\infty)$. Проверим, достигаются ли на этом промежутке значения 1 и -1.

Наибольшее значение 1 достигается при $t = 2\pi n$. Например, при $n=0$, $t=0$. Так как $0 \in [0; +\infty)$, наибольшее значение функции равно 1.

Наименьшее значение -1 достигается при $t = \pi + 2\pi n$. Например, при $n=0$, $t=\pi$. Так как $\pi \in [0; +\infty)$, наименьшее значение функции равно -1.

Ответ: наименьшее значение равно -1, наибольшее значение равно 1.

б) на открытом луче $(-\infty; \pi)$

Если $x \in (-\infty; \pi)$, то $t = \frac{x}{3} \in (-\infty; \frac{\pi}{3})$.

Нужно найти наименьшее и наибольшее значения $y = \cos(t)$ на промежутке $(-\infty; \frac{\pi}{3})$.

Наибольшее значение 1 достигается при $t = 2\pi n$. Например, при $n=0$, $t=0$. Так как $0 < \frac{\pi}{3}$, точка $t=0$ принадлежит данному промежутку. Следовательно, наибольшее значение равно 1.

Наименьшее значение -1 достигается при $t = \pi + 2\pi n$. Например, при $n=-1$, $t=-\pi$. Так как $-\pi < \frac{\pi}{3}$, точка $t=-\pi$ принадлежит данному промежутку. Следовательно, наименьшее значение равно -1.

Ответ: наименьшее значение равно -1, наибольшее значение равно 1.

в) на луче $(-\infty; \frac{\pi}{2}]$

Если $x \in (-\infty; \frac{\pi}{2}]$, то $t = \frac{x}{3} \in (-\infty; \frac{\pi}{6}]$.

Нужно найти наименьшее и наибольшее значения $y = \cos(t)$ на промежутке $(-\infty; \frac{\pi}{6}]$.

Наибольшее значение 1 достигается при $t = 2\pi n$. Например, при $n=0$, $t=0$. Так как $0 \le \frac{\pi}{6}$, точка $t=0$ принадлежит данному промежутку. Следовательно, наибольшее значение равно 1.

Наименьшее значение -1 достигается при $t = \pi + 2\pi n$. Например, при $n=-1$, $t=-\pi$. Так как $-\pi \le \frac{\pi}{6}$, точка $t=-\pi$ принадлежит данному промежутку. Следовательно, наименьшее значение равно -1.

Ответ: наименьшее значение равно -1, наибольшее значение равно 1.

г) на открытом луче $(\frac{\pi}{3}; +\infty)$

Если $x \in (\frac{\pi}{3}; +\infty)$, то $t = \frac{x}{3} \in (\frac{\pi}{9}; +\infty)$.

Нужно найти наименьшее и наибольшее значения $y = \cos(t)$ на промежутке $(\frac{\pi}{9}; +\infty)$.

Наибольшее значение 1 достигается при $t = 2\pi n$. Например, при $n=1$, $t=2\pi$. Так как $2\pi > \frac{\pi}{9}$, точка $t=2\pi$ принадлежит данному промежутку. Следовательно, наибольшее значение равно 1.

Наименьшее значение -1 достигается при $t = \pi + 2\pi n$. Например, при $n=0$, $t=\pi$. Так как $\pi > \frac{\pi}{9}$, точка $t=\pi$ принадлежит данному промежутку. Следовательно, наименьшее значение равно -1.

Ответ: наименьшее значение равно -1, наибольшее значение равно 1.