Номер 18.7, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

18.7. Постройте график функции:

а) $y = \sin 2x - 1$;

б) $y = \cos \frac{x}{2} + 1$;

в) $y = \cos 2x + 3$;

г) $y = \sin \frac{x}{3} - 2$.

а) $y = \sin 2x - 1$

Для построения графика данной функции выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin x$.

1. Сначала выполним сжатие графика $y = \sin x$ вдоль оси абсцисс ($Ox$) в 2 раза. В результате получим график функции $y_1 = \sin 2x$. Период этой функции будет в 2 раза меньше периода синуса, то есть $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Область значений останется прежней: $E(y_1) = [-1, 1]$.

2. Затем сдвинем полученный график $y_1 = \sin 2x$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат ($Oy$). В результате получим искомый график функции $y = \sin 2x - 1$. Ось симметрии графика сместится на прямую $y = -1$.

Область значений итоговой функции будет $E(y) = [-1-1, 1-1] = [-2, 0]$. Период останется равным $\pi$.

Ответ: График функции $y = \sin 2x - 1$ получается из графика $y = \sin x$ путем сжатия к оси $Oy$ в 2 раза и последующего сдвига на 1 единицу вниз.

б) $y = \cos \frac{x}{2} + 1$

Для построения графика данной функции выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \cos x$.

1. Сначала выполним растяжение графика $y = \cos x$ вдоль оси абсцисс ($Ox$) в 2 раза. В результате получим график функции $y_1 = \cos \frac{x}{2}$. Период этой функции будет в 2 раза больше периода косинуса, то есть $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$. Область значений останется прежней: $E(y_1) = [-1, 1]$.

2. Затем сдвинем полученный график $y_1 = \cos \frac{x}{2}$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат ($Oy$). В результате получим искомый график функции $y = \cos \frac{x}{2} + 1$. Ось симметрии графика сместится на прямую $y = 1$.

Область значений итоговой функции будет $E(y) = [-1+1, 1+1] = [0, 2]$. Период останется равным $4\pi$.

Ответ: График функции $y = \cos \frac{x}{2} + 1$ получается из графика $y = \cos x$ путем растяжения от оси $Oy$ в 2 раза и последующего сдвига на 1 единицу вверх.

в) $y = \cos 2x + 3$

Для построения графика данной функции выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \cos x$.

1. Сначала выполним сжатие графика $y = \cos x$ вдоль оси абсцисс ($Ox$) в 2 раза. В результате получим график функции $y_1 = \cos 2x$. Период этой функции будет в 2 раза меньше периода косинуса, то есть $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Область значений останется прежней: $E(y_1) = [-1, 1]$.

2. Затем сдвинем полученный график $y_1 = \cos 2x$ на 3 единицы вверх вдоль оси ординат ($Oy$). В результате получим искомый график функции $y = \cos 2x + 3$. Ось симметрии графика сместится на прямую $y = 3$.

Область значений итоговой функции будет $E(y) = [-1+3, 1+3] = [2, 4]$. Период останется равным $\pi$.

Ответ: График функции $y = \cos 2x + 3$ получается из графика $y = \cos x$ путем сжатия к оси $Oy$ в 2 раза и последующего сдвига на 3 единицы вверх.

г) $y = \sin \frac{x}{3} - 2$

Для построения графика данной функции выполним последовательные преобразования графика базовой функции $y = \sin x$.

1. Сначала выполним растяжение графика $y = \sin x$ вдоль оси абсцисс ($Ox$) в 3 раза. В результате получим график функции $y_1 = \sin \frac{x}{3}$. Период этой функции будет в 3 раза больше периода синуса, то есть $T = \frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$. Область значений останется прежней: $E(y_1) = [-1, 1]$.

2. Затем сдвинем полученный график $y_1 = \sin \frac{x}{3}$ на 2 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$). В результате получим искомый график функции $y = \sin \frac{x}{3} - 2$. Ось симметрии графика сместится на прямую $y = -2$.

Область значений итоговой функции будет $E(y) = [-1-2, 1-2] = [-3, -1]$. Период останется равным $6\pi$.

Ответ: График функции $y = \sin \frac{x}{3} - 2$ получается из графика $y = \sin x$ путем растяжения от оси $Oy$ в 3 раза и последующего сдвига на 2 единицы вниз.